極限 $\displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{ax^2+bx+1}{x-2} = 1$ が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

極限 $\displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{ax^2+bx+1}{x-2} = 1$ が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

$x \to 2$ のとき、分母 $x-2$ は $0$ に近づきます。極限値が存在するためには、分子 $ax^2 + bx + 1$ も $x \to 2$ のとき $0$ に近づく必要があります。つまり、

$4a+2b+1=0$

でなければなりません。

したがって、 $2b = -4a - 1$, つまり $b = -2a - \frac{1}{2}$ となります。

このとき、分子は

$ax^2 + bx + 1 = ax^2 + (-2a - \frac{1}{2})x + 1 = ax^2 - (2a + \frac{1}{2})x + 1$

となります。

分子が $x=2$ で $0$ になるので、$x-2$ で因数分解できるはずです。

$ax^2 - (2a + \frac{1}{2})x + 1 = (x-2)(ax + c)$

と置くと、

$ax^2 - (2a + \frac{1}{2})x + 1 = ax^2 + (c-2a)x - 2c$

したがって、$c-2a = -(2a + \frac{1}{2})$ および $-2c = 1$ が成立します。

$-2c = 1$ より $c = -\frac{1}{2}$ です。

$c-2a = -(2a + \frac{1}{2})$ より $-\frac{1}{2} - 2a = -2a - \frac{1}{2}$ となり、これは常に成り立ちます。

したがって、

$ax^2 - (2a + \frac{1}{2})x + 1 = (x-2)(ax - \frac{1}{2})$

となります。

よって、

$\displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{ax^2+bx+1}{x-2} = \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(ax-\frac{1}{2})}{x-2} = \lim_{x\to 2} (ax - \frac{1}{2}) = 2a - \frac{1}{2}$

これが $1$ に等しいので、

$2a - \frac{1}{2} = 1$

$2a = \frac{3}{2}$

$a = \frac{3}{4}$

$b = -2a - \frac{1}{2} = -2(\frac{3}{4}) - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = -2$

3. 最終的な答え

$a = \frac{3}{4}$

$b = -2$