$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)$ を計算します。

2. 解き方の手順

与えられた極限を計算するために、まず$\sqrt{x^2+2x}-x$を掛け算、割り算します。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x) = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x) \frac{\sqrt{x^2 + 2x} - x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 + 2x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 2x} - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}$

次に、分母と分子を$x$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - 1}$

$x \to \infty$のとき、$2/x \to 0$になるので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - 1} = \frac{2}{\sqrt{1 + 0} - 1} = \frac{2}{1 - 1}$

しかし、これは不定形なので、計算をやり直します。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x) = \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1)$

$\sqrt{1+y} \approx 1 + \frac{y}{2}$と近似できるので、

$\lim_{x \to \infty} x(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1) = \lim_{x \to \infty} x(1 + \frac{1}{x} + 1) = \lim_{x \to \infty} x(2 + \frac{1}{x}) = \lim_{x \to \infty} (2x + 1)$

$x \to \infty$のとき、$2x+1 \to \infty$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\frac{\sqrt{x^2 + 2x}}{x} - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - 1}$

ここで、$t = \frac{1}{x}$と置くと、$x \to \infty$のとき、$t \to 0$なので、

$\lim_{t \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 + 2t} - 1}$

$\sqrt{1 + 2t} \approx 1 + \frac{1}{2}(2t) = 1 + t$と近似できるので、

$\lim_{t \to 0} \frac{2}{(1 + t) - 1} = \lim_{t \to 0} \frac{2}{t} = \infty$

3. 最終的な答え

$\infty$