$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2 + 2x} - x$ を分子に掛け、分母にも掛けて、式を変形します。

$$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 2x} + x)(\sqrt{x^2 + 2x} - x)}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}$$

$$= \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 + 2x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 2x} - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}$$

次に、分母と分子を $x$ で割ります。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - 1}$$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{2}{x} \to 0$ となるので、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - 1} = \frac{2}{\sqrt{1 + 0} - 1} = \frac{2}{1 - 1}$$

このままでは不定形になってしまうため、計算が間違っているか、別の手法が必要になります。

改めて、式変形をやり直します。

$\sqrt{x^2+2x} = \sqrt{x^2(1+\frac{2}{x})} = x\sqrt{1+\frac{2}{x}}$

なので、

$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 + 2x} + x = \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{1+\frac{2}{x}} + 1)$

ここで、$\sqrt{1+t} \approx 1 + \frac{t}{2}$ (for small $t$) を用いると

$\sqrt{1+\frac{2}{x}} \approx 1 + \frac{1}{x}$

$\lim_{x \to \infty} x(\sqrt{1+\frac{2}{x}} + 1) \approx \lim_{x \to \infty} x(1 + \frac{1}{x} + 1) = \lim_{x \to \infty} x(2 + \frac{1}{x}) = \lim_{x \to \infty} (2x + 1) = \infty$

ここで最初の式変形に戻り、有理化ではなく、$\sqrt{x^2+2x}$ を$x$でくくり出すことを試します。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x) = \lim_{x \to \infty} (x\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + x) = \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1)$

ここで、$\sqrt{1 + \frac{2}{x}}$ をテイラー展開します。

$\sqrt{1+u} = 1 + \frac{1}{2}u - \frac{1}{8}u^2 + \dots$

$\sqrt{1+\frac{2}{x}} = 1 + \frac{1}{2}\frac{2}{x} - \frac{1}{8}(\frac{2}{x})^2 + \dots = 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \dots$

$\lim_{x \to \infty} x(1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \dots + 1) = \lim_{x \to \infty} x(2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \dots) = \lim_{x \to \infty} (2x + 1 - \frac{1}{2x} + \dots) = \infty$

3. 最終的な答え

$\infty$