与えられた極限を計算する問題です。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( 2 - \frac{6}{x+3} \right) $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

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\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( 2 - \frac{6}{x+3} \right)

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2. 解き方の手順

まず、括弧の中の式を整理します。

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2 - \frac{6}{x+3} = \frac{2(x+3) - 6}{x+3} = \frac{2x+6-6}{x+3} = \frac{2x}{x+3}

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したがって、極限は次のようになります。

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\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{2x}{x+3} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x(x+3)}

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$x \neq 0$ のとき、$x$ で約分できます。

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\lim_{x \to 0} \frac{2}{x+3}

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$x \to 0$ のとき、$x+3 \to 3$ なので、

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\lim_{x \to 0} \frac{2}{x+3} = \frac{2}{0+3} = \frac{2}{3}

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3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$