極限 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x$ の形を解消するために、有理化を行います。

$\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x$ を分子と分母にかけます。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)(\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x)}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x}$

分子を計算すると、

$(\sqrt{4x^2 - 3x + 1})^2 - (2x)^2 = 4x^2 - 3x + 1 - 4x^2 = -3x + 1$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{-3x + 1}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x}$

次に、分子と分母を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{4x^2 - 3x + 1}}{x} - 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{4x^2 - 3x + 1}{x^2}} - 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ および $\frac{1}{x^2} \to 0$ となるので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2} = \frac{-3}{\sqrt{4} - 2} = \frac{-3}{2 - 2} = \frac{-3}{0}$

ここで、$\sqrt{4x^2 - 3x + 1}$ は $x > 0$ であれば $2x$ より小さいので, $\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x$ は負の値になります。

したがって $\lim_{x \to \infty} \sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x = 0^{-}$。

したがって $\lim_{x \to \infty} \frac{-3x + 1}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x} = \infty$。

3. 最終的な答え

$\infty$