定積分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

被積分関数 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ の原始関数は $\arcsin(x)$ であることを利用します。つまり、

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin(x) + C$$

したがって、定積分は

$$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin(\frac{1}{2}) - \arcsin(0)$$

ここで、$\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$ であり、$\arcsin(0) = 0$ です。

したがって、

$$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6}$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6}$