2桁の自然数のうち、4で割ると3余る数の和を求めます。

算数等差数列余り整数
2025/7/13

1. 問題の内容

2桁の自然数のうち、4で割ると3余る数の和を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2桁の自然数で4で割ると3余る数をすべてリストアップします。
4で割ると3余る数は、4n+34n + 3 (nは整数)の形で表されます。
2桁の最小の自然数は10なので、4n+3104n + 3 \ge 10を満たす最小のnを求めます。
4n74n \ge 7
n74=1.75n \ge \frac{7}{4} = 1.75
よって、最小のnは2であり、最小の数は 4(2)+3=114(2) + 3 = 11です。
2桁の最大の自然数は99なので、4n+3994n + 3 \le 99を満たす最大のnを求めます。
4n964n \le 96
n964=24n \le \frac{96}{4} = 24
よって、最大のnは24であり、最大の数は 4(24)+3=994(24) + 3 = 99です。
したがって、求める数列は11, 15, 19, ..., 99です。これは初項が11、公差が4の等差数列です。
項数を求めます。
an=a1+(n1)da_n = a_1 + (n-1)d
99=11+(n1)499 = 11 + (n-1)4
88=(n1)488 = (n-1)4
22=n122 = n-1
n=23n = 23
等差数列の和の公式は、Sn=n(a1+an)2S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}です。
S23=23(11+99)2=23(110)2=23×55=1265S_{23} = \frac{23(11 + 99)}{2} = \frac{23(110)}{2} = 23 \times 55 = 1265

3. 最終的な答え

1265

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