微分方程式 $\frac{dA}{dt} = -kA$ を、初期条件 $t=0$ のとき $A=A_0$ のもとで解く問題です。ここで、$A$ は時間 $t$ の関数であり、$k$ と $A_0$ は正の定数です。

1. 問題の内容

微分方程式 $\frac{dA}{dt} = -kA$ を、初期条件 $t=0$ のとき $A=A_0$ のもとで解く問題です。ここで、$A$ は時間 $t$ の関数であり、$k$ と $A_0$ は正の定数です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式 $\frac{dA}{dt} = -kA$ を変数分離します。

$\frac{dA}{A} = -k dt$

次に、両辺を積分します。

$\int \frac{dA}{A} = \int -k dt$

$\ln|A| = -kt + C$

ここで、$C$ は積分定数です。$A \geq 0$ なので、絶対値を外すことができます。

$\ln A = -kt + C$

両辺を指数関数に適用します。

$A = e^{-kt + C} = e^{-kt}e^C$

$e^C$ もまた定数なので、これを改めて $C'$ と置きます。

$A = C'e^{-kt}$

初期条件 $t=0$ のとき $A = A_0$ を適用して、$C'$ を求めます。

$A_0 = C'e^{-k(0)} = C'e^0 = C'$

したがって、$C' = A_0$ です。

よって、$A$ は次のように表されます。

$A = A_0e^{-kt}$

3. 最終的な答え

$A = A_0e^{-kt}$