ある放物線を、$x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に$-3$だけ平行移動し、さらに$x$軸に関して対称移動したところ、放物線$y = x^2 - 2x + 2$ になった。もとの放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

ある放物線を、$x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に$-3$だけ平行移動し、さらに$x$軸に関して対称移動したところ、放物線$y = x^2 - 2x + 2$ になった。もとの放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 - 2x + 2$ を$x$軸に関して対称移動させます。$x$軸に関する対称移動は、$y$を$-y$に置き換えることで行われます。

$$-y = x^2 - 2x + 2$$

$$y = -x^2 + 2x - 2$$

次に、得られた放物線を、平行移動の逆操作を行います。$x$軸方向に$-1$移動させたものを元に戻すには、$x$軸方向に$+1$移動させます。$y$軸方向に$-3$移動させたものを元に戻すには、$y$軸方向に$+3$移動させます。

$x$軸方向に$+1$移動させるには、$x$を$(x-1)$に置き換えます。

$y$軸方向に$+3$移動させるには、$y$を$(y-3)$に置き換えます。

したがって、

$$y - 3 = -(x - 1)^2 + 2(x - 1) - 2$$

$$y = -(x^2 - 2x + 1) + 2x - 2 - 2 + 3$$

$$y = -x^2 + 2x - 1 + 2x - 1$$

$$y = -x^2 + 4x - 2$$

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 4x - 2$