ある2次関数のグラフを$x$軸に関して対称移動し、さらに$x$軸方向に$-1$, $y$軸方向に$3$だけ平行移動したところ、$y=2x^2$のグラフに重なった。もとの2次関数を求めよ。

1. 問題の内容

ある2次関数のグラフを$x$軸に関して対称移動し、さらに$x$軸方向に$-1$, $y$軸方向に$3$だけ平行移動したところ、$y=2x^2$のグラフに重なった。もとの2次関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y=2x^2$のグラフを、$x$軸方向に$1$, $y$軸方向に$-3$だけ平行移動する。

$x$軸方向に$1$だけ平行移動すると、$x$が$x-1$になるので、$y=2(x-1)^2$となる。

$y$軸方向に$-3$だけ平行移動すると、$y$が$y+3$になるので、$y+3=2(x-1)^2$となり、整理すると$y=2(x-1)^2-3$となる。

次に、$y=2(x-1)^2-3$のグラフを$x$軸に関して対称移動する。

$x$軸に関して対称移動すると、$y$が$-y$になるので、$-y=2(x-1)^2-3$となり、整理すると$y=-2(x-1)^2+3$となる。

したがって、もとの2次関数は$y=-2(x-1)^2+3$である。

これを展開すると、

$y = -2(x^2 - 2x + 1) + 3 = -2x^2 + 4x - 2 + 3 = -2x^2 + 4x + 1$

となる。

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 + 4x + 1$