(1) AからGの7つのチームがトーナメント戦を行う。全てのチームの実力が互角であるとき、CとEが決勝で戦う確率を求める。 (2) A, B, C, D, E の5文字を全て使ってできる順列を、辞書式順に並べる。 (1) 94番目の文字列を求める。 (2) CBDEA は何番目の文字列か求める。

1. 問題の内容

(1) AからGの7つのチームがトーナメント戦を行う。全てのチームの実力が互角であるとき、CとEが決勝で戦う確率を求める。

(2) A, B, C, D, E の5文字を全て使ってできる順列を、辞書式順に並べる。

(1) 94番目の文字列を求める。

(2) CBDEA は何番目の文字列か求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、CとEが決勝に進む確率をそれぞれ求める。

Cが決勝に進むためには、Cが属するブロックで勝ち進み、準決勝、決勝と勝ち進む必要がある。トーナメントの組み合わせから、Cが決勝に進む確率は1/4である。

同様に、Eが決勝に進む確率は1/4である。

CとEが決勝で戦うためには、CとEが別々のブロックに所属している必要がある。CとEが同じブロックにいる場合、決勝で戦うことはない。CとEが別々のブロックに所属する確率は、EがC以外の6つのポジションのいずれかにいる確率なので、6/6=1である。

ただし、CとEが同じグループになる場合は存在しないので、CとEが決勝で戦う確率は、Cが決勝に進む確率とEが決勝に進む確率を掛け合わせたものになる。

よって、CとEが決勝で戦う確率は、(1/4) * (1/4) = 1/16

(2) (1)

5文字の順列は全部で 5! = 120個ある。

94番目の文字列を求める。

まず、Aから始まる順列は 4! = 24 個ある。

次に、Bから始まる順列も 24 個ある。

Cから始まる順列も 24 個ある。

ここまでで、24*3 = 72個。

次に、Dから始まる順列も24個ある。

ここまでで、24*4 = 96個。

94番目はDから始まるので、Dから始まる順列の中で何番目か考える。

94 - 72 = 22

次に、DAから始まる順列は 3! = 6 個ある。

DBから始まる順列も 6 個ある。

DCから始まる順列も 6 個ある。

ここまでで、6*3 = 18個。

DEから始まる順列も 6個ある。

ここまでで、6*4 = 24個。

22番目はDEから始まる順列なので、DEから始まる順列の中で何番目か考える。

22-18 = 4

次に、DEAから始まる順列は 2! = 2個ある。

DEBから始まる順列も 2個ある。

ここまでで、2*2=4個。

4番目はDEBから始まる順列の2番目。

DEBAC, DEBCAの順。

よって94番目はDEBCA。

(2) (2)

CBDEAが何番目の文字列かを求める。

まず、Aから始まる順列は 4! = 24 個ある。

次に、Bから始まる順列も 24 個ある。

Cから始まる順列を考える。

CAから始まる順列は 3! = 6 個ある。

CBから始まる順列を考える。

CBAから始まる順列は 2! = 2個ある。

CBDから始まる順列を考える。

CBDAE, CBDEAの順なので、CBDEAは2番目。

よって、24+24+6+2+2 = 58番目。

3. 最終的な答え

(1) 1/16

(2) (1) DEBCA

(2) 58