10本のバラを3人に分配する方法について、以下の2つの場合における分け方の総数を求めます。 (1) 1本ももらわない人がいてもよい場合 (2) どの人も必ず1本はもらう場合

1. 問題の内容

10本のバラを3人に分配する方法について、以下の2つの場合における分け方の総数を求めます。

(1) 1本ももらわない人がいてもよい場合

(2) どの人も必ず1本はもらう場合

2. 解き方の手順

(1) 1本ももらわない人がいてもよい場合

これは、10個の区別できないものを3つの区別できる箱に入れる問題と考えることができます。この問題は、重複組み合わせの問題として解くことができます。$n$個のものから$r$個を選ぶ重複組み合わせの総数は、$_{n+r-1}C_r$ で表されます。

この問題では、$n=3$（3人）であり、$r=10$（10本のバラ）なので、求める場合の数は、

$_{3+10-1}C_{10} = _{12}C_{10} = _{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$通りです。

(2) どの人も必ず1本はもらう場合

まず、3人に1本ずつバラを配ります。すると、残りのバラは$10 - 3 = 7$本になります。この7本のバラを3人にどのように分配しても良いので、これは(1)と同様に重複組み合わせの問題として解くことができます。

この問題では、$n=3$（3人）であり、$r=7$（7本のバラ）なので、求める場合の数は、

$_{3+7-1}C_7 = _{9}C_7 = _{9}C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 1本ももらわない人がいてもよい場合：66通り

(2) どの人も必ず1本はもらう場合：36通り