(1) 行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & k \\ k & 4 \end{bmatrix}$ の行列式が0となるような $k$ の値を $k = a\sqrt{b}, c\sqrt{d}$ の形で求め、整数 $a, b, c, d$ の値を求める。ただし、$a>c$, $b \ge 0$, $d \ge 0$ とし、$b, d$ はできるだけ小さい整数とする。 (2) 行列 $B = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \\ k & 2 & 4 \end{bmatrix}$ の行列式が0となるような $k$ の値を既約分数で求める。

1. 問題の内容

(1) 行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & k \\ k & 4 \end{bmatrix}$ の行列式が0となるような $k$ の値を $k = a\sqrt{b}, c\sqrt{d}$ の形で求め、整数 $a, b, c, d$ の値を求める。ただし、$a>c$, $b \ge 0$, $d \ge 0$ とし、$b, d$ はできるだけ小さい整数とする。

(2) 行列 $B = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \\ k & 2 & 4 \end{bmatrix}$ の行列式が0となるような $k$ の値を既約分数で求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の行列式を計算する。

$\det(A) = 3 \cdot 4 - k \cdot k = 12 - k^2$

行列式が0となるので、

$12 - k^2 = 0$

$k^2 = 12$

$k = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$

$k = 2\sqrt{3}$ の場合、$a=2, b=3, c=0, d=0$

$k = -2\sqrt{3}$ の場合、$a=0, b=0, c=-2, d=3$ は条件 $a > c$ を満たさない。

$a=2$, $b=3$ であるとき、$k=a\sqrt{b}$

$c=-2$, $d=3$ であるとき、$k=c\sqrt{d}$

$2>-2$, $3 \ge 0$, $3 \ge 0$ となっている。

(2) 行列 $B$ の行列式を計算する。

$\det(B) = -1(4 \cdot 4 - 1 \cdot 2) - 2(2 \cdot 4 - 1 \cdot k) + 3(2 \cdot 2 - 4 \cdot k)$

$= -1(16 - 2) - 2(8 - k) + 3(4 - 4k)$

$= -14 - 16 + 2k + 12 - 12k$

$= -18 - 10k$

行列式が0となるので、

$-18 - 10k = 0$

$-10k = 18$

$k = -\frac{18}{10} = -\frac{9}{5}$

3. 最終的な答え

(1)

$a=2$

$b=3$

$c=-2$

$d=3$

(2)

ア：-9

イ：5