与えられた数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。数列は全部で4つあります。 (1) $1 \cdot 2 \cdot 3, 2 \cdot 3 \cdot 5, 3 \cdot 4 \cdot 7, 4 \cdot 5 \cdot 9, \dots$ (2) $1, 1+2, 1+2+4, 1+2+4+8, \dots$ (3) $1^2, 1^2+3^2, 1^2+3^2+5^2, 1^2+3^2+5^2+7^2, \dots$ (4) $1^2 \cdot n, 2^2 \cdot (n-1), 3^2 \cdot (n-2), 4^2 \cdot (n-3), \dots, n^2 \cdot 1$

1. 問題の内容

与えられた数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。数列は全部で4つあります。

(1) $1 \cdot 2 \cdot 3, 2 \cdot 3 \cdot 5, 3 \cdot 4 \cdot 7, 4 \cdot 5 \cdot 9, \dots$

(2) $1, 1+2, 1+2+4, 1+2+4+8, \dots$

(3) $1^2, 1^2+3^2, 1^2+3^2+5^2, 1^2+3^2+5^2+7^2, \dots$

(4) $1^2 \cdot n, 2^2 \cdot (n-1), 3^2 \cdot (n-2), 4^2 \cdot (n-3), \dots, n^2 \cdot 1$

2. 解き方の手順

各数列について、一般項を求めてから、和を計算します。

(1) 一般項を $a_k$ とすると、

$a_k = k \cdot (k+1) \cdot (2k+1)$

したがって、

$a_k = k(k+1)(2k+1) = k(2k^2 + 3k + 1) = 2k^3 + 3k^2 + k$

求める和を $S_n$ とすると、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2k^3 + 3k^2 + k) = 2\sum_{k=1}^{n} k^3 + 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

$S_n = 2(\frac{n(n+1)}{2})^2 + 3\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$

$S_n = \frac{n^2(n+1)^2}{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2}$

$S_n = \frac{n(n+1)}{2}[n(n+1) + (2n+1) + 1] = \frac{n(n+1)}{2}[n^2+n+2n+2] = \frac{n(n+1)(n^2+3n+2)}{2} = \frac{n(n+1)(n+1)(n+2)}{2} = \frac{n(n+1)^2(n+2)}{2}$

(2) 一般項を $a_k$ とすると、

$a_k = 1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{k-1}$

これは初項1、公比2の等比数列の和なので、

$a_k = \frac{1(2^k - 1)}{2-1} = 2^k - 1$

求める和を $S_n$ とすると、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2^k - 1) = \sum_{k=1}^{n} 2^k - \sum_{k=1}^{n} 1 = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} - n = 2^{n+1} - 2 - n$

(3) 一般項を $a_k$ とすると、

$a_k = 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2k-1)^2 = \sum_{i=1}^{k} (2i-1)^2$

$a_k = \sum_{i=1}^{k} (4i^2 - 4i + 1) = 4\sum_{i=1}^{k} i^2 - 4\sum_{i=1}^{k} i + \sum_{i=1}^{k} 1$

$a_k = 4\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} - 4\frac{k(k+1)}{2} + k = \frac{2k(k+1)(2k+1)}{3} - 2k(k+1) + k$

$a_k = \frac{k}{3}[2(k+1)(2k+1) - 6(k+1) + 3] = \frac{k}{3}[2(2k^2+3k+1) - 6k - 6 + 3] = \frac{k}{3}[4k^2 + 6k + 2 - 6k - 3] = \frac{k(4k^2-1)}{3} = \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{4k^3-k}{3} = \frac{1}{3}[4\sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} k]$

$S_n = \frac{1}{3}[4(\frac{n(n+1)}{2})^2 - \frac{n(n+1)}{2}] = \frac{n(n+1)}{6}[4\frac{n(n+1)}{2} - 1] = \frac{n(n+1)}{6}[2n(n+1) - 1] = \frac{n(n+1)(2n^2+2n-1)}{6}$

(4) 一般項を $a_k$ とすると、

$a_k = k^2(n-k+1)$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} k^2(n-k+1) = \sum_{k=1}^{n} (nk^2 - k^3 + k^2) = n\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} k^2 = (n+1)\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k^3$

$S_n = (n+1)\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - (\frac{n(n+1)}{2})^2 = \frac{n(n+1)}{6}[(n+1)(2n+1) - \frac{3n(n+1)}{2}] = \frac{n(n+1)}{6} [ (n+1)(2n+1) - \frac{3}{2}n(n+1) ] = \frac{n(n+1)}{12} [2(n+1)(2n+1) - 3n(n+1)] = \frac{n(n+1)}{12} [ (n+1)(4n+2 - 3n) ] = \frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(n+1)^2(n+2)}{2}$

(2) $2^{n+1} - n - 2$

(3) $\frac{n(n+1)(2n^2+2n-1)}{6}$

(4) $\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$