次の5つの数列の和を求めます。 (1) $\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \cdots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ (2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2+2k}$ (3) $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2+2^2} + \frac{7}{1^2+2^2+3^2} + \cdots + \frac{2n+1}{1^2+2^2+\cdots+n^2}$ (4) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ (5) $\sum_{k=1}^{60} \frac{1}{\sqrt{2k-1} + \sqrt{2k+1}}$

はい、承知いたしました。それでは、与えられた問題の解法を説明します。

1. 問題の内容

次の5つの数列の和を求めます。

(1) $\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \cdots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2+2k}$

(3) $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2+2^2} + \frac{7}{1^2+2^2+3^2} + \cdots + \frac{2n+1}{1^2+2^2+\cdots+n^2}$

(4) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$

(5) $\sum_{k=1}^{60} \frac{1}{\sqrt{2k-1} + \sqrt{2k+1}}$

2. 解き方の手順

(1) 部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right)$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right) = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{3n+1} \right) = \frac{n}{3n+1}$

(2) 部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{k^2+2k} = \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right)$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)} \right) = \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

(3) $1^2+2^2+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を利用します。

$\frac{2n+1}{1^2+2^2+\cdots+n^2} = \frac{2n+1}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6}{n(n+1)} = 6 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{2k+1}{1^2+2^2+\cdots+k^2} = \sum_{k=1}^{n} \frac{6}{k(k+1)} = 6 \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = 6 \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{6n}{n+1}$

(4) 部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right)$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

(5) 分母の有理化を行います。

$\frac{1}{\sqrt{2k-1} + \sqrt{2k+1}} = \frac{\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1}}{(\sqrt{2k+1} + \sqrt{2k-1})(\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1})} = \frac{\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1}}{2k+1 - (2k-1)} = \frac{\sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1}}{2} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1} \right)$

したがって、

$\sum_{k=1}^{60} \frac{1}{\sqrt{2k-1} + \sqrt{2k+1}} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{60} \left( \sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1} \right) = \frac{1}{2} \left( \sqrt{121} - \sqrt{1} \right) = \frac{1}{2} (11-1) = 5$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n}{3n+1}$

(2) $\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

(3) $\frac{6n}{n+1}$

(4) $\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

(5) $5$