問題は、与えられた数列の一般項を求めることです。さらに、(2)の数列については、初項から第n項までの和も求める必要があります。与えられた数列は以下の3つです。 (1) 2, 5, 12, 23, 38, ... (2) 3, 33, 333, 3333, ... (3) 1, 2, 4, 10, 23, 46, ...

1. 問題の内容

問題は、与えられた数列の一般項を求めることです。さらに、(2)の数列については、初項から第n項までの和も求める必要があります。与えられた数列は以下の3つです。

(1) 2, 5, 12, 23, 38, ...

(2) 3, 33, 333, 3333, ...

(3) 1, 2, 4, 10, 23, 46, ...

2. 解き方の手順

(1) の数列の一般項を求めます。

階差数列を計算します：3, 7, 11, 15, ... これは等差数列であり、初項は3、公差は4です。

したがって、階差数列の一般項は $3 + 4(n-1) = 4n - 1$ です。

元の数列の一般項 $a_n$ は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k - 1) = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k - 1)$

$a_n = 2 + 4\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2 + 4\frac{(n-1)n}{2} - (n-1)$

$a_n = 2 + 2n(n-1) - (n-1) = 2 + 2n^2 - 2n - n + 1 = 2n^2 - 3n + 3$

(2) の数列の一般項と和を求めます。

数列は 3, 33, 333, 3333, ... です。これは $3(1), 3(11), 3(111), 3(1111), ...$ と書けます。

一般項は $a_n = 3 \sum_{k=0}^{n-1} 10^k = 3\frac{10^n - 1}{10-1} = \frac{1}{3}(10^n - 1)$

次に、初項から第n項までの和 $S_n$ を求めます。

$S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{3}(10^i - 1) = \frac{1}{3}\sum_{i=1}^{n} (10^i - 1)$

$S_n = \frac{1}{3}(\sum_{i=1}^{n} 10^i - \sum_{i=1}^{n} 1) = \frac{1}{3}(\frac{10(10^n - 1)}{10-1} - n)$

$S_n = \frac{1}{3}(\frac{10(10^n - 1)}{9} - n) = \frac{1}{27}(10^{n+1} - 10 - 9n)$

(3) の数列の一般項を求めます。

階差数列を計算します：1, 2, 6, 13, 23, ...

階差数列の階差数列を計算します：1, 4, 7, 10, ... これは等差数列であり、初項は1、公差は3です。

したがって、階差数列の階差数列の一般項は $1 + 3(n-1) = 3n - 2$ です。

階差数列の一般項 $b_n$ は、

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k - 2) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k - 2)$

$b_n = 1 + 3\sum_{k=1}^{n-1} k - 2\sum_{k=1}^{n-1} 1 = 1 + 3\frac{(n-1)n}{2} - 2(n-1)$

$b_n = 1 + \frac{3}{2}(n^2 - n) - 2n + 2 = \frac{3}{2}n^2 - \frac{3}{2}n - 2n + 3 = \frac{3}{2}n^2 - \frac{7}{2}n + 3$

元の数列の一般項 $a_n$ は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (\frac{3}{2}k^2 - \frac{7}{2}k + 3) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (\frac{3}{2}k^2 - \frac{7}{2}k + 3)$

$a_n = 1 + \frac{3}{2}\sum_{k=1}^{n-1} k^2 - \frac{7}{2}\sum_{k=1}^{n-1} k + 3\sum_{k=1}^{n-1} 1$

$a_n = 1 + \frac{3}{2}\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} - \frac{7}{2}\frac{(n-1)n}{2} + 3(n-1)$

$a_n = 1 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{4} - \frac{7(n-1)n}{4} + 3n - 3$

$a_n = 1 + \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{4} - \frac{7n^2 - 7n}{4} + 3n - 3 = 1 + \frac{2n^3 - 10n^2 + 8n}{4} + 3n - 3$

$a_n = \frac{1}{2}n^3 - \frac{5}{2}n^2 + 2n + 3n - 2 = \frac{1}{2}n^3 - \frac{5}{2}n^2 + 5n - 2$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n^2 - 3n + 3$

(2) $a_n = \frac{1}{3}(10^n - 1)$, $S_n = \frac{1}{27}(10^{n+1} - 10 - 9n)$

(3) $a_n = \frac{1}{2}n^3 - \frac{5}{2}n^2 + 5n - 2$