放物線 $y = -x^2 + 4$ 上の点 $P(a, b)$ から $x$ 軸に下ろした垂線と $x$ 軸との交点をそれぞれ $S, R$ とし、長方形 $PQRS$ の周の長さを $L$ とする。ただし、$0 < a < 4$ とする。 (1) $0 < a \le 2$ のとき、$L$ を $a$ で表し、$L$ の最大値を求める。 (2) $L \ge 12$ となるような $a$ の値の範囲を求める。 $L$ について正しく述べたものを選択肢から二つ選ぶ。 長方形 $PQRS$ が正方形となるような $a$ の値を求める。

## 回答

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 + 4$ 上の点 $P(a, b)$ から $x$ 軸に下ろした垂線と $x$ 軸との交点をそれぞれ $S, R$ とし、長方形 $PQRS$ の周の長さを $L$ とする。ただし、$0 < a < 4$ とする。

(1) $0 < a \le 2$ のとき、$L$ を $a$ で表し、$L$ の最大値を求める。

(2) $L \ge 12$ となるような $a$ の値の範囲を求める。

$L$ について正しく述べたものを選択肢から二つ選ぶ。

長方形 $PQRS$ が正方形となるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点 $P(a,b)$ は放物線上にあるので、$b = -a^2 + 4$。

長方形 $PQRS$ の横の長さは $2a$、縦の長さは $b = -a^2 + 4$。

周の長さ $L$ は、

$L = 2(2a) + 2(-a^2 + 4) = 4a - 2a^2 + 8 = -2a^2 + 4a + 8$

$L = -2(a^2 - 2a) + 8 = -2((a - 1)^2 - 1) + 8 = -2(a - 1)^2 + 2 + 8 = -2(a - 1)^2 + 10$

$0 < a \le 2$ の範囲で、$L$ は $a = 1$ のときに最大値をとる。

$L_{max} = -2(1 - 1)^2 + 10 = 10$

(2)

$L \ge 12$ より、

$-2a^2 + 4a + 8 \ge 12$

$-2a^2 + 4a - 4 \ge 0$

$a^2 - 2a + 2 \le 0$

$(a-1)^2+1 \le 0$

これはありえないので、Lが12以上になることはない

$a^2 - 2a + 2 = 0$

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2}$

Lが12となることはないので、Lが10となるaの値は一つもない。

したがって選択肢は③。

長方形 $PQRS$ が正方形となるのは、横の長さと縦の長さが等しいときなので、

$2a = -a^2 + 4$

$a^2 + 2a - 4 = 0$

$a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$

$0 < a < 4$ より、$a = -1 + \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1)

$L = -2a^2 + 4a + 8$

$L$ の最大値は $10$

(2)

$L \ge 12$ となる $a$ の値は存在しない。

$L$ が10となる $a$ の値は存在しない。

長方形 $PQRS$ が正方形となるような $a$ の値は $-1 + \sqrt{5}$