$a$ は正の定数とする。関数 $y=x^2-2x-1$ ($0 \le x \le a$) について、最小値と最大値を求める。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y=x^2-2x-1$ ($0 \le x \le a$) について、最小値と最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x - 1 = (x-1)^2 - 2$

これにより、この放物線の頂点は $(1, -2)$ であり、軸は $x=1$ であることがわかります。

(1) 最小値を求める。

定義域 $0 \le x \le a$ における最小値を考えます。

(i) $a < 1$ のとき、定義域において関数は単調減少なので、$x=a$ で最小値をとります。

最小値は $y = a^2 - 2a - 1$ です。

(ii) $a \ge 1$ のとき、頂点の $x$ 座標 $x=1$ が定義域に含まれるので、$x=1$ で最小値をとります。

最小値は $y = -2$ です。

(2) 最大値を求める。

定義域 $0 \le x \le a$ における最大値を考えます。

(i) $0 \le a < 2$ のとき、$x=0$ の方が $x=a$ よりも軸から遠いので、$x=0$ で最大値をとります。

最大値は $y = 0^2 - 2(0) - 1 = -1$ です。

(ii) $a = 2$ のとき、$x=0$ と $x=a$ で同じ値を取るので、$x=0$ または $x=2$ で最大値をとります。

最大値は $y = -1$ です。

(iii) $a > 2$ のとき、$x=a$ の方が $x=0$ よりも軸から遠いので、$x=a$ で最大値をとります。

最大値は $y = a^2 - 2a - 1$ です。

3. 最終的な答え

(1) 最小値

$a < 1$ のとき、最小値は $a^2 - 2a - 1$

$a \ge 1$ のとき、最小値は $-2$

(2) 最大値

$0 < a \le 2$ のとき、最大値は $-1$

$a > 2$ のとき、最大値は $a^2 - 2a - 1$