問題は次の2つです。 (1) ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -5 \\ a \end{pmatrix}$ が平行であるとき、$a$ の値を求めよ。 (2) ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} a \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ が同一平面上にあるとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は次の2つです。

(1) ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -5 \\ a \end{pmatrix}$ が平行であるとき、$a$ の値を求めよ。

(2) ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} a \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ が同一平面上にあるとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2つのベクトルが平行であるとき、一方のベクトルを定数倍するともう一方のベクトルになる。つまり、ある実数 $k$ が存在して、

$\begin{pmatrix} -5 \\ a \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$

となる。この式から、$x$成分について $-5 = 2k$ なので、$k = -\frac{5}{2}$。

したがって、$y$成分について $a = -3k = -3 \left( -\frac{5}{2} \right) = \frac{15}{2}$。

(2) 3つのベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ が同一平面上にあるとき、$\vec{c}$ が $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合で表せる。

つまり、実数 $s$ と $t$ が存在して、

$\begin{pmatrix} a \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}$

が成り立つ。これを成分ごとに書くと

$a = 2s + t$

$-1 = -3s$

$3 = 4s - 5t$

2番目の式から $s = \frac{1}{3}$。これを3番目の式に代入すると

$3 = 4 \left( \frac{1}{3} \right) - 5t$

$3 = \frac{4}{3} - 5t$

$9 = 4 - 15t$

$5 = -15t$

$t = -\frac{1}{3}$

したがって、

$a = 2s + t = 2 \left( \frac{1}{3} \right) - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{15}{2}$

(2) $a = \frac{1}{3}$