6次対称群 $S_6$ の元 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$、$\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解く。 (1) $\tau \sigma$ を求める。 (2) $\sigma^{-1}$ を求める。 (3) $\sigma$ を互換の積で表す。 (4) $\text{sgn}(\sigma)$ を求める。

1. 問題の内容

6次対称群 $S_6$ の元 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$、$\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解く。

(1) $\tau \sigma$ を求める。

(2) $\sigma^{-1}$ を求める。

(3) $\sigma$ を互換の積で表す。

(4) $\text{sgn}(\sigma)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\tau \sigma$ を求める。

$\tau \sigma$ は $\sigma$ を適用した後、$\tau$ を適用することで得られる。

まず、$\sigma(1) = 2$, $\tau(2) = 1$ なので、$\tau\sigma(1) = 1$

$\sigma(2) = 4$, $\tau(4) = 3$ なので、$\tau\sigma(2) = 3$

$\sigma(3) = 5$, $\tau(5) = 4$ なので、$\tau\sigma(3) = 4$

$\sigma(4) = 6$, $\tau(6) = 2$ なので、$\tau\sigma(4) = 2$

$\sigma(5) = 1$, $\tau(1) = 6$ なので、$\tau\sigma(5) = 6$

$\sigma(6) = 3$, $\tau(3) = 5$ なので、$\tau\sigma(6) = 5$

したがって、$\tau \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $\sigma^{-1}$ を求める。

$\sigma^{-1}$ は $\sigma$ の逆写像であり、$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ の上下を入れ替えて、上段を小さい順に並び替えることで得られる。

$\begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

したがって、$\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $\sigma$ を互換の積で表す。

$\sigma$ を巡回置換で表すと、$\sigma = (1 \ 2 \ 4 \ 6 \ 3 \ 5)$ である。

巡回置換を互換の積で表すとき、$(a_1 \ a_2 \ \dots \ a_n) = (a_1 \ a_n) (a_1 \ a_{n-1}) \dots (a_1 \ a_2)$ となる。

したがって、$\sigma = (1 \ 5)(1 \ 3)(1 \ 6)(1 \ 4)(1 \ 2)$

(4) $\text{sgn}(\sigma)$ を求める。

$\text{sgn}(\sigma)$ は $\sigma$ を互換の積で表したときの互換の個数の偶奇によって決まる。

$\sigma$ は5個の互換の積で表されたので、$\text{sgn}(\sigma) = (-1)^5 = -1$

3. 最終的な答え

(1) $\tau \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $\sigma = (1 \ 5)(1 \ 3)(1 \ 6)(1 \ 4)(1 \ 2)$

(4) $\text{sgn}(\sigma) = -1$