与えられた正方行列 A が正則かどうかを判定し、正則ならば逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた正方行列 A が正則かどうかを判定し、正則ならば逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 行列 A の行列式 $|A|$ を計算する。 $|A| = (5)(3) - (-7)(-2) = 15 - 14 = 1$

(2) $|A| \neq 0$ なので、A は正則である。

(3) A の余因子行列 $\tilde{A}$ を計算する。

* $a_{11} = (-1)^{1+1} (3) = 3$

* $a_{12} = (-1)^{1+2} (-7) = 7$

* $a_{21} = (-1)^{2+1} (-2) = 2$

* $a_{22} = (-1)^{2+2} (5) = 5$

したがって、 $\tilde{A} = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$

(4) $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \tilde{A} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$