2次関数 $y = x^2 - 2ax + 1$ の $0 \le x \le 2$ における最小値を、$a$ の範囲によって場合分けして求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax + 1$ の $0 \le x \le 2$ における最小値を、$a$ の範囲によって場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax + 1 = (x - a)^2 - a^2 + 1$

この2次関数の軸は $x = a$ です。定義域 $0 \le x \le 2$ における最小値を求めるために、$a$ の値によって場合分けを行います。

(1) $a < 0$ のとき

軸 $x = a$ は定義域 $0 \le x \le 2$ の左側にあります。したがって、$x = 0$ で最小値をとります。

$x = 0$ を代入すると、$y = 0^2 - 2a \cdot 0 + 1 = 1$

よって、最小値は 1 です。

(2) $0 \le a \le 2$ のとき

軸 $x = a$ は定義域 $0 \le x \le 2$ の中にあります。したがって、$x = a$ で最小値をとります。

$x = a$ を代入すると、$y = (a - a)^2 - a^2 + 1 = -a^2 + 1$

よって、最小値は $-a^2 + 1$ です。

(3) $2 < a$ のとき

軸 $x = a$ は定義域 $0 \le x \le 2$ の右側にあります。したがって、$x = 2$ で最小値をとります。

$x = 2$ を代入すると、$y = 2^2 - 2a \cdot 2 + 1 = 4 - 4a + 1 = 5 - 4a$

よって、最小値は $5 - 4a$ です。

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、最小値は 1

$0 \le a \le 2$ のとき、最小値は $-a^2 + 1$

$2 < a$ のとき、最小値は $5 - 4a$