放物線 $y = x^2 - ax + a^2 - 3a$ が $x$ 軸と異なる2つの共有点を持つときの定数 $a$ の値の範囲と、その2つの共有点の $x$ 座標がともに正であるときの $a$ の値の範囲を求める問題です。

代数学二次関数放物線判別式二次方程式解の配置
2025/7/15

1. 問題の内容

放物線 y=x2ax+a23ay = x^2 - ax + a^2 - 3axx 軸と異なる2つの共有点を持つときの定数 aa の値の範囲と、その2つの共有点の xx 座標がともに正であるときの aa の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) xx 軸と異なる2つの共有点を持つ条件
y=x2ax+a23ay = x^2 - ax + a^2 - 3axx 軸と異なる2つの共有点を持つためには、判別式 DD が正である必要があります。
D=(a)24(1)(a23a)=a24a2+12a=3a2+12aD = (-a)^2 - 4(1)(a^2 - 3a) = a^2 - 4a^2 + 12a = -3a^2 + 12a
D>0D > 0 より
3a2+12a>0-3a^2 + 12a > 0
3a(a4)>0-3a(a - 4) > 0
a(a4)<0a(a - 4) < 0
よって、0<a<40 < a < 4
(2) 2つの共有点の xx 座標がともに正である条件
2つの共有点の xx 座標がともに正であるためには、以下の3つの条件を満たす必要があります。
(a) 判別式 D>0D > 0
(b) 軸の位置が正である
(c) yy 切片が正である
(a) はすでに 0<a<40 < a < 4 で求まっています。
(b) 軸の位置:
軸は x=(a)2(1)=a2x = \frac{-(-a)}{2(1)} = \frac{a}{2} であり、これが正であるためには a2>0\frac{a}{2} > 0 より a>0a > 0 が必要です。
(c) yy 切片:
yy 切片は x=0x = 0 のときの yy の値なので、 y=a23ay = a^2 - 3a です。
これが正であるためには a23a>0a^2 - 3a > 0 より a(a3)>0a(a - 3) > 0
したがって、a<0a < 0 または a>3a > 3 が必要です。
(a), (b), (c) のすべての条件を満たす aa の範囲を求めます。
0<a<40 < a < 4, a>0a > 0, a<0a < 0 または a>3a > 3
したがって、3<a<43 < a < 4

3. 最終的な答え

ア: 0
イ: 4
ウ: 3
エ: 4
0<a<40 < a < 4
3<a<43 < a < 4

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