与えられた式 $x^4 - 7x^2 + 1$ を因数分解します。

承知いたしました。画像にある問題のうち、(85)の問題 $x^4 - 7x^2 + 1$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 7x^2 + 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は、そのままでは因数分解しにくい形をしています。そこで、式に $2x^2$ を足して引き、平方の差の形を作ります。

$x^4 - 7x^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1 - 5x^2$

$= (x^2 - 1)^2 - 5x^2$

$= (x^2 - 1)^2 - (\sqrt{5}x)^2$

平方の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用して因数分解します。

$(x^2 - 1)^2 - (\sqrt{5}x)^2 = (x^2 - 1 + \sqrt{5}x)(x^2 - 1 - \sqrt{5}x)$

係数を整理して、

$(x^2 + \sqrt{5}x - 1)(x^2 - \sqrt{5}x - 1)$

ただし、問題文の意図としては、有理数の範囲での因数分解を求めている可能性が高いです。

別の解法を検討します。

$x^4 - 7x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 9x^2$

$= (x^2 + 1)^2 - (3x)^2$

$= (x^2 + 1 + 3x)(x^2 + 1 - 3x)$

$= (x^2 + 3x + 1)(x^2 - 3x + 1)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 3x + 1)(x^2 - 3x + 1)$