次の行列式が0になるような $x$ の値をすべて求める問題です。 $\begin{vmatrix} x+4 & -4 & 2 \\ 3 & x-3 & 2 \\ -3 & 2 & x-3 \end{vmatrix} = 0$

1. 問題の内容

次の行列式が0になるような $x$ の値をすべて求める問題です。

$\begin{vmatrix}

x+4 & -4 & 2 \\

3 & x-3 & 2 \\

-3 & 2 & x-3

\end{vmatrix} = 0$

2. 解き方の手順

行列式を計算します。

$\begin{aligned}

&\begin{vmatrix}

x+4 & -4 & 2 \\

3 & x-3 & 2 \\

-3 & 2 & x-3

\end{vmatrix} \\

&= (x+4)((x-3)(x-3) - 4) - (-4)(3(x-3) - (-6)) + 2(6 - (-3)(x-3)) \\

&= (x+4)(x^2 - 6x + 9 - 4) + 4(3x - 9 + 6) + 2(6 + 3x - 9) \\

&= (x+4)(x^2 - 6x + 5) + 4(3x - 3) + 2(3x - 3) \\

&= (x+4)(x-1)(x-5) + 12x - 12 + 6x - 6 \\

&= (x+4)(x^2 - 6x + 5) + 18x - 18 \\

&= x^3 - 6x^2 + 5x + 4x^2 - 24x + 20 + 18x - 18 \\

&= x^3 - 2x^2 - x + 2

\end{aligned}$

よって、$x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$ を解きます。

$x^2(x-2) - (x-2) = 0$

$(x^2-1)(x-2) = 0$

$(x-1)(x+1)(x-2) = 0$

したがって、$x = 1, -1, 2$ が解です。

3. 最終的な答え

$x = 1, -1, 2$