線形変換 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ について、以下の2つのことを示す。 * $f$ が単射であることと全射であることは同値である。 * $f$ が全単射であるとき、その逆写像 $f^{-1}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ も線形写像となる。

1. 問題の内容

線形変換 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ について、以下の2つのことを示す。

* $f$ が単射であることと全射であることは同値である。

* $f$ が全単射であるとき、その逆写像 $f^{-1}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ も線形写像となる。

2. 解き方の手順

(1) $f$ が単射であることと全射であることの同値性：

$f$ は $\mathbb{R}^n$ から $\mathbb{R}^n$ への線形変換である。線形代数の基本定理より、

$$\dim(\ker f) + \dim(\operatorname{Im} f) = n$$

が成り立つ。

* $f$ が単射であると仮定する。このとき、$\ker f = \{0\}$ なので、$\dim(\ker f) = 0$ である。したがって、$\dim(\operatorname{Im} f) = n$ となり、$\operatorname{Im} f = \mathbb{R}^n$ であるから、$f$ は全射である。

* $f$ が全射であると仮定する。このとき、$\operatorname{Im} f = \mathbb{R}^n$ なので、$\dim(\operatorname{Im} f) = n$ である。したがって、$\dim(\ker f) = 0$ となり、$\ker f = \{0\}$ であるから、$f$ は単射である。

以上より、$f$ が単射であることと全射であることは同値である。

(2) $f^{-1}$ が線形写像であること：

$f$ が全単射であるとき、$f^{-1}$ が存在する。線形写像の定義を確認することにより、$f^{-1}$ が線形写像であることを示す。線形写像の定義は以下の2つの条件を満たすことである。

* $f^{-1}(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = f^{-1}(\mathbf{x}) + f^{-1}(\mathbf{y})$

* $f^{-1}(c\mathbf{x}) = cf^{-1}(\mathbf{x})$

$\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$ を任意にとる。このとき、ある $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ が存在して、$\mathbf{x} = f(\mathbf{u}), \mathbf{y} = f(\mathbf{v})$ と書ける。したがって、

$$f^{-1}(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = f^{-1}(f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v})) = f^{-1}(f(\mathbf{u} + \mathbf{v})) = \mathbf{u} + \mathbf{v} = f^{-1}(\mathbf{x}) + f^{-1}(\mathbf{y})$$

$c \in \mathbb{R}$ を任意にとる。このとき、

$$f^{-1}(c\mathbf{x}) = f^{-1}(cf(\mathbf{u})) = f^{-1}(f(c\mathbf{u})) = c\mathbf{u} = cf^{-1}(\mathbf{x})$$

したがって、$f^{-1}$ は線形写像である。

3. 最終的な答え

線形変換 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ について、$f$ が単射であることと全射であることは同値であり、$f$ が全単射であるとき、その逆写像 $f^{-1}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ も線形写像である。