与えられた4つの式をそれぞれ簡単にする問題です。 (1) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} - \frac{12}{\sqrt{6}}$ (2) $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ (3) $(\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}})^2$ (4) $(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1})^2$

はい、承知いたしました。与えられた4つの式をそれぞれ簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた4つの式をそれぞれ簡単にする問題です。

(1) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} - \frac{12}{\sqrt{6}}$

(2) $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$

(3) $(\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}})^2$

(4) $(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1})^2$

2. 解き方の手順

(1) 各項をそれぞれ有理化します。

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$

$\frac{12}{\sqrt{6}} = \frac{12 \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}$

よって、$\sqrt{6} - 2\sqrt{6} = -\sqrt{6}$

(2) 分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{5})^2}{7 - 5} = \frac{7 - 2\sqrt{35} + 5}{2} = \frac{12 - 2\sqrt{35}}{2} = 6 - \sqrt{35}$

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{5})^2}{7 - 5} = \frac{7 + 2\sqrt{35} + 5}{2} = \frac{12 + 2\sqrt{35}}{2} = 6 + \sqrt{35}$

よって、$6 - \sqrt{35} + 6 + \sqrt{35} = 12$

(3) 分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{6 - 5} = \sqrt{6} - \sqrt{5}$

よって、$(\sqrt{6} - \sqrt{5})^2 = 6 - 2\sqrt{30} + 5 = 11 - 2\sqrt{30}$

(4) 分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{2 - 1} = (\sqrt{2} + 1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$

よって、$(3 + 2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $-\sqrt{6}$

(2) $12$

(3) $11 - 2\sqrt{30}$

(4) $17 + 12\sqrt{2}$