次の3つの連立一次方程式を解きます。 (1) $x + y + z = 4$ $x - 8y - 2z = 1$ $3x - z = -1$ (2) $x + y + z = -11$ $2x + 3y - z = 0$ $x + 2y - 4z = -3$ (3) $x - y - z = 0$ $y + z - 2w = 0$ $x + 5y - 3w = 0$ $x - 2z + 2w = 2$

はい、承知いたしました。連立一次方程式の問題ですね。教科書的な解法で解いていきます。

1. 問題の内容

次の3つの連立一次方程式を解きます。

(1)

$x + y + z = 4$

$x - 8y - 2z = 1$

$3x - z = -1$

(2)

$x + y + z = -11$

$2x + 3y - z = 0$

$x + 2y - 4z = -3$

(3)

$x - y - z = 0$

$y + z - 2w = 0$

$x + 5y - 3w = 0$

$x - 2z + 2w = 2$

2. 解き方の手順

(1)

まず3番目の式から、$z = 3x + 1$ を得ます。これを1番目と2番目の式に代入します。

$x + y + 3x + 1 = 4$ すなわち $4x + y = 3$

$x - 8y - 2(3x + 1) = 1$ すなわち $x - 8y - 6x - 2 = 1$ つまり $-5x - 8y = 3$

これで、$x$ と $y$ に関する連立方程式が得られました。

$4x + y = 3$

$-5x - 8y = 3$

最初の式を8倍して、$32x + 8y = 24$。これを2番目の式と足し合わせます。

$32x + 8y + (-5x - 8y) = 24 + 3$

$27x = 27$

$x = 1$

$4(1) + y = 3$ なので $y = -1$

$z = 3x + 1 = 3(1) + 1 = 4$

(2)

1番目の式から $x = -y - z - 11$ を得ます。

これを2番目と3番目の式に代入します。

$2(-y - z - 11) + 3y - z = 0$ すなわち $-2y - 2z - 22 + 3y - z = 0$ よって $y - 3z = 22$

$(-y - z - 11) + 2y - 4z = -3$ すなわち $-y - z - 11 + 2y - 4z = -3$ よって $y - 5z = 8$

これで、$y$ と $z$ に関する連立方程式が得られました。

$y - 3z = 22$

$y - 5z = 8$

最初の式から2番目の式を引きます。

$(y - 3z) - (y - 5z) = 22 - 8$

$2z = 14$

$z = 7$

$y - 3(7) = 22$ なので $y - 21 = 22$ よって $y = 43$

$x = -y - z - 11 = -43 - 7 - 11 = -61$

(3)

1番目の式から、$x = y + z$ を得ます。これを3番目と4番目の式に代入します。

$(y + z) + 5y - 3w = 0$ すなわち $6y + z - 3w = 0$

$(y + z) - 2z + 2w = 2$ すなわち $y - z + 2w = 2$

2番目の式から、$y + z = 2w$ を得ます。したがって、$z = 2w - y$

これを $6y + z - 3w = 0$ と $y - z + 2w = 2$ に代入します。

$6y + (2w - y) - 3w = 0$ すなわち $5y - w = 0$ よって $w = 5y$

$y - (2w - y) + 2w = 2$ すなわち $2y = 2$ よって $y = 1$

$w = 5y = 5(1) = 5$

$z = 2w - y = 2(5) - 1 = 9$

$x = y + z = 1 + 9 = 10$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1$, $y = -1$, $z = 4$

(2) $x = -61$, $y = 43$, $z = 7$

(3) $x = 10$, $y = 1$, $z = 9$, $w = 5$