与えられた和を求めます。 $S = \frac{{}_nC_0}{2} + \frac{{}_nC_1}{2 \cdot 2^2} + \frac{{}_nC_2}{3 \cdot 2^3} + \frac{{}_nC_3}{4 \cdot 2^4} + \dots + \frac{{}_nC_n}{(n+1) \cdot 2^{n+1}}$

1. 問題の内容

与えられた和を求めます。

$S = \frac{{}_nC_0}{2} + \frac{{}_nC_1}{2 \cdot 2^2} + \frac{{}_nC_2}{3 \cdot 2^3} + \frac{{}_nC_3}{4 \cdot 2^4} + \dots + \frac{{}_nC_n}{(n+1) \cdot 2^{n+1}}$

2. 解き方の手順

まず、一般項を考えます。

$a_k = \frac{{}_nC_k}{(k+1) \cdot 2^{k+1}}$

ここで、$S = \sum_{k=0}^n \frac{{}_nC_k}{(k+1) \cdot 2^{k+1}}$ と表せます。

${}_nC_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ であることを利用して、

$\frac{{}_nC_k}{k+1} = \frac{n!}{(k+1)!(n-k)!} = \frac{1}{n+1} \frac{(n+1)!}{(k+1)! (n-k)!} = \frac{1}{n+1} {}_{n+1}C_{k+1}$

したがって、

$S = \sum_{k=0}^n \frac{{}_{n+1}C_{k+1}}{(n+1) \cdot 2^{k+1}} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n \frac{{}_{n+1}C_{k+1}}{2^{k+1}}$

ここで、$j = k+1$ とおくと、

$S = \frac{1}{n+1} \sum_{j=1}^{n+1} \frac{{}_{n+1}C_j}{2^j} = \frac{1}{n+1} \sum_{j=1}^{n+1} {}_{n+1}C_j (\frac{1}{2})^j$

二項定理より、

$(1+x)^{n+1} = \sum_{j=0}^{n+1} {}_{n+1}C_j x^j$

$x = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$(1+\frac{1}{2})^{n+1} = (\frac{3}{2})^{n+1} = \sum_{j=0}^{n+1} {}_{n+1}C_j (\frac{1}{2})^j = {}_{n+1}C_0 (\frac{1}{2})^0 + \sum_{j=1}^{n+1} {}_{n+1}C_j (\frac{1}{2})^j$

$\sum_{j=1}^{n+1} {}_{n+1}C_j (\frac{1}{2})^j = (\frac{3}{2})^{n+1} - {}_{n+1}C_0 (\frac{1}{2})^0 = (\frac{3}{2})^{n+1} - 1$

したがって、

$S = \frac{1}{n+1} ((\frac{3}{2})^{n+1} - 1) = \frac{3^{n+1} - 2^{n+1}}{(n+1) 2^{n+1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{3^{n+1} - 2^{n+1}}{(n+1) 2^{n+1}}$