与えられた和を求めます。 $S = \frac{{}_n C_0}{2} + \frac{{}_n C_1}{2 \cdot 2^2} + \frac{{}_n C_2}{3 \cdot 2^3} + \frac{{}_n C_3}{4 \cdot 2^4} + \dots + \frac{{}_n C_n}{(n+1) \cdot 2^{n+1}}$

1. 問題の内容

与えられた和を求めます。

$S = \frac{{}_n C_0}{2} + \frac{{}_n C_1}{2 \cdot 2^2} + \frac{{}_n C_2}{3 \cdot 2^3} + \frac{{}_n C_3}{4 \cdot 2^4} + \dots + \frac{{}_n C_n}{(n+1) \cdot 2^{n+1}}$

2. 解き方の手順

まず、二項定理を思い出します。

$(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {}_n C_k x^k$

両辺を積分します。

$\int (1+x)^n dx = \int \sum_{k=0}^n {}_n C_k x^k dx$

$\frac{(1+x)^{n+1}}{n+1} = \sum_{k=0}^n {}_n C_k \frac{x^{k+1}}{k+1} + C$

$x = 0$を代入すると、$C = \frac{1}{n+1}$なので、

$\frac{(1+x)^{n+1}}{n+1} - \frac{1}{n+1} = \sum_{k=0}^n {}_n C_k \frac{x^{k+1}}{k+1}$

$\frac{(1+x)^{n+1} - 1}{n+1} = \sum_{k=0}^n \frac{{}_n C_k}{k+1} x^{k+1}$

両辺を$x$で割ると、

$\frac{(1+x)^{n+1} - 1}{(n+1)x} = \sum_{k=0}^n \frac{{}_n C_k}{k+1} x^k$

ここで、$x = \frac{1}{2}$を代入すると、

$\frac{(1+\frac{1}{2})^{n+1} - 1}{(n+1)\frac{1}{2}} = \sum_{k=0}^n \frac{{}_n C_k}{k+1} (\frac{1}{2})^k$

$\frac{(\frac{3}{2})^{n+1} - 1}{\frac{n+1}{2}} = \sum_{k=0}^n \frac{{}_n C_k}{k+1} (\frac{1}{2})^k$

$\frac{2}{n+1} ((\frac{3}{2})^{n+1} - 1) = \sum_{k=0}^n \frac{{}_n C_k}{k+1} (\frac{1}{2})^k$

$S = \sum_{k=0}^n \frac{{}_n C_k}{(k+1) 2^{k+1}} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^n \frac{{}_n C_k}{k+1} (\frac{1}{2})^k$

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n+1} ((\frac{3}{2})^{n+1} - 1) = \frac{1}{n+1} ((\frac{3}{2})^{n+1} - 1)$

$S = \frac{3^{n+1} - 2^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{3^{n+1} - 2^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}$