$a^2 + ac - b^2 + bc$

## 問題の回答

以下に、画像に記載された問題の解答を示します。

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1. 問題の内容

画像には、複数の因数分解の問題が記載されています。ここでは、特に指示がないため、すべての問題に解答します。

* (80) $a(a+c) - b(b-c)$

* (81) $xy + y^2 - x - y$

* (82) $x^2 - y^2 + 2x + 1$

* (83) $x^2 - xz + xy - yz$

* (84) $a^4 + a^2 + 1$

* (85) $x^4 - 7x^2 + 1$

* (86) $x^4 + 4$

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2. 解き方の手順

各問題について、以下のように因数分解の手順を説明します。

**(80) $a(a+c) - b(b-c)$**

1. 分配法則を用いて展開します。

$a^2 + ac - b^2 + bc$

2. 項を整理します。

$a^2 - b^2 + ac + bc$

3. $a^2 - b^2$ を因数分解し、共通因数 $c$ でくくります。

$(a+b)(a-b) + c(a+b)$

4. 共通因数 $(a+b)$ でくくります。

$(a+b)(a-b+c)$

**(81) $xy + y^2 - x - y$**

1. 項を並び替えます。

$xy - x + y^2 - y$

2. 共通因数 $x$ と $y$ でそれぞれくくります。

$x(y - 1) + y(y - 1)$

3. 共通因数 $(y-1)$ でくくります。

$(x+y)(y-1)$

**(82) $x^2 - y^2 + 2x + 1$**

1. 項を並び替えます。

$x^2 + 2x + 1 - y^2$

2. $x^2 + 2x + 1$ を因数分解します。

$(x+1)^2 - y^2$

3. 二乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を適用します。

$((x+1) + y)((x+1) - y)$

4. 整理します。

$(x+y+1)(x-y+1)$

**(83) $x^2 - xz + xy - yz$**

1. 項を並び替えます。

$x^2 + xy - xz - yz$

2. 共通因数 $x$ と $z$ でそれぞれくくります。

$x(x+y) - z(x+y)$

3. 共通因数 $(x+y)$ でくくります。

$(x-z)(x+y)$

**(84) $a^4 + a^2 + 1$**

1. $a^2$ に $a^2$ を足して引き、$a^4 + 2a^2 + 1 - a^2$ の形にします。

$(a^2+1)^2 - a^2$

2. 二乗の差の公式を適用します。

$(a^2 + 1 + a)(a^2 + 1 - a)$

3. 整理します。

$(a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1)$

**(85) $x^4 - 7x^2 + 1$**

1. $x^4 - 2x^2 + 1 - 5x^2$ の形に変形します。

$(x^2-1)^2 - 5x^2$

2. 平方完成させると、 $(x^2 - \sqrt{5}x - 1)(x^2 + \sqrt{5}x - 1)$ となりますが、係数が整数にならないので、元の式は因数分解できません。

**(86) $x^4 + 4$**

1. $4x^2$ を足して引いて $x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2$ の形にします。

$(x^2+2)^2 - (2x)^2$

2. 二乗の差の公式を適用します。

$(x^2 + 2 + 2x)(x^2 + 2 - 2x)$

3. 整理します。

$(x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)$

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3. 最終的な答え

* (80) $(a+b)(a-b+c)$

* (81) $(x+y)(y-1)$

* (82) $(x+y+1)(x-y+1)$

* (83) $(x-z)(x+y)$

* (84) $(a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1)$

* (85) 因数分解できません。

* (86) $(x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)$