複素数 $z$ に関する方程式が与えられており、それらを満たす点 $z$ 全体の集合がどのような図形になるかを答える問題です。選択肢として、(ア) $|z-3i| = 2$、(イ) $|z-2| = |z-4i|$、(ウ) $|3z+2| = |z-6|$ の3つの方程式があります。今回は(イ) $|z-2| = |z-4i|$ を解きます。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に関する方程式が与えられており、それらを満たす点 $z$ 全体の集合がどのような図形になるかを答える問題です。選択肢として、(ア) $|z-3i| = 2$、(イ) $|z-2| = |z-4i|$、(ウ) $|3z+2| = |z-6|$ の3つの方程式があります。今回は(イ) $|z-2| = |z-4i|$ を解きます。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を $z = x + yi$ （$x, y$ は実数）とおきます。

まず、(イ)の方程式 $|z-2| = |z-4i|$ に $z = x + yi$ を代入します。

$|x + yi - 2| = |x + yi - 4i|$

$|(x-2) + yi| = |x + (y-4)i|$

複素数の絶対値は $|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$ であることを利用して、絶対値を計算します。

$\sqrt{(x-2)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y-4)^2}$

両辺を2乗します。

$(x-2)^2 + y^2 = x^2 + (y-4)^2$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + y^2 - 8y + 16$

両辺の $x^2$ と $y^2$ を消去します。

$-4x + 4 = -8y + 16$

$4x - 8y + 12 = 0$

$x - 2y + 3 = 0$

$2y = x+3$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

これは傾きが $\frac{1}{2}$、y切片が $\frac{3}{2}$ の直線の方程式です。

3. 最終的な答え

(イ) $|z-2| = |z-4i|$ を満たす点 $z$ 全体の集合は、直線 $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ です。