$x^{2014}$ を $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ で割った余りを求める問題です。

1. 問題の内容

$x^{2014}$ を $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ で割った余りを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^5 - 1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$ であることを利用します。

したがって、$x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = \frac{x^5 - 1}{x-1}$ となります。

$x^5 - 1 = 0$ となる $x$ は、$x^5 = 1$ を満たします。

$x^{2014}$ を $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax^3 + bx^2 + cx + d$ とおくと、

$$x^{2014} = (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)Q(x) + ax^3 + bx^2 + cx + d$$

$x^5 = 1$ より、$x^{2015} = x \cdot (x^5)^{403} = x \cdot 1^{403} = x$ となります。

このとき、

$x^{2014} = \frac{x^{2015}}{x} = \frac{x}{x} = 1$ (ただし、$x \neq 0$)。

また、$x^5 = 1$ のとき、$x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0$ です（ただし、$x \neq 1$）。

したがって、

$$1 = (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)Q(x) + ax^3 + bx^2 + cx + d$$

$$1 = 0 \cdot Q(x) + ax^3 + bx^2 + cx + d$$

$$1 = ax^3 + bx^2 + cx + d$$

この式は、$x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0$ を満たす任意の $x$ に対して成立します。

しかし、$x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ は４次式であるため、一般には $a=b=c=0$ で $d=1$ とはなりません。

$2014 = 5 \cdot 402 + 4$ であるから、$x^{2014} = (x^5)^{402} \cdot x^4 = 1^{402} \cdot x^4 = x^4$

よって、

$x^{2014} = x^4 = (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) - (x^3 + x^2 + x + 1)$

したがって、$x^{2014}$ を $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ で割った余りは

$x^4 = (x^4+x^3+x^2+x+1) \cdot 1 + (-x^3-x^2-x-1)$.

$x^{2014} = x^4$ なので、余りは$x^4 = x^4+x^3+x^2+x+1 - x^3-x^2-x-1$となり、求める余りは$-x^3-x^2-x-1$となります。

3. 最終的な答え

$-x^3 - x^2 - x - 1$