平面上の3直線が1点で交わるように、$a$の値を定める問題です。 (1) $y = x + 2, y = -2x + a, y = 3x - 2$ (2) $y = ax - 3, y = 2x - 1, y = -2x + 3$

はい、承知いたしました。問題5.9と5.10について、それぞれ解説します。

**問5.9**

1. 問題の内容

平面上の3直線が1点で交わるように、$a$の値を定める問題です。

(1) $y = x + 2, y = -2x + a, y = 3x - 2$

(2) $y = ax - 3, y = 2x - 1, y = -2x + 3$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x + 2$と$y = 3x - 2$の交点を求めます。

$x + 2 = 3x - 2$

$2x = 4$

$x = 2$

$y = 2 + 2 = 4$

交点は$(2, 4)$なので、$y = -2x + a$もこの点を通る必要があります。

$4 = -2(2) + a$

$4 = -4 + a$

$a = 8$

(2)

まず、$y = 2x - 1$と$y = -2x + 3$の交点を求めます。

$2x - 1 = -2x + 3$

$4x = 4$

$x = 1$

$y = 2(1) - 1 = 1$

交点は$(1, 1)$なので、$y = ax - 3$もこの点を通る必要があります。

$1 = a(1) - 3$

$1 = a - 3$

$a = 4$

3. 最終的な答え

(1) $a = 8$

(2) $a = 4$

**問5.10**

1. 問題の内容

空間$\mathbb{R}^3$内の指定された3点を通る平面の方程式を求める問題です。

(1) $A(1, 4, 2), B(3, -2, 0), C(2, 1, 3)$

(2) $O(0, 0, 0), A(1, 2, 3), B(-2, 1, -1)$

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{AB} = (3-1, -2-4, 0-2) = (2, -6, -2)$

$\vec{AC} = (2-1, 1-4, 3-2) = (1, -3, 1)$

法線ベクトル $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ を計算します。

$\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-6)(1) - (-2)(-3) \\ (-2)(1) - (2)(1) \\ (2)(-3) - (-6)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 - 6 \\ -2 - 2 \\ -6 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{n} = (-12, -4, 0)$に平行なベクトルとして、例えば $(3, 1, 0)$ を用いることができます。

平面の方程式は、$3(x-1) + 1(y-4) + 0(z-2) = 0$ となります。

$3x - 3 + y - 4 = 0$

$3x + y - 7 = 0$

(2)

$\vec{OA} = (1, 2, 3)$

$\vec{OB} = (-2, 1, -1)$

法線ベクトル $\vec{n} = \vec{OA} \times \vec{OB}$ を計算します。

$\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(-1) - (3)(1) \\ (3)(-2) - (1)(-1) \\ (1)(1) - (2)(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 - 3 \\ -6 + 1 \\ 1 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -5 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\vec{n} = (-5, -5, 5)$に平行なベクトルとして、例えば $(1, 1, -1)$ を用いることができます。

平面の方程式は、$1(x-0) + 1(y-0) - 1(z-0) = 0$ となります。

$x + y - z = 0$

3. 最終的な答え

(1) $3x + y - 7 = 0$

(2) $x + y - z = 0$