数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $(n-1)a_{n+1} = (n+2)a_n - (2n+1)$ で定められている。 (1) $n \ge 2$ のとき、$a_n = (n-1)n(n+1)b_n$ とおく。$b_{n+1}$ を $b_n$ と $n$ の式で表せ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $(n-1)a_{n+1} = (n+2)a_n - (2n+1)$ で定められている。

(1) $n \ge 2$ のとき、$a_n = (n-1)n(n+1)b_n$ とおく。$b_{n+1}$ を $b_n$ と $n$ の式で表せ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_n = (n-1)n(n+1)b_n$ であるから、$a_{n+1} = n(n+1)(n+2)b_{n+1}$ である。

これらを漸化式 $(n-1)a_{n+1} = (n+2)a_n - (2n+1)$ に代入する。

$(n-1) n(n+1)(n+2) b_{n+1} = (n+2)(n-1)n(n+1) b_n - (2n+1)$

$n(n-1)(n+1)(n+2) b_{n+1} = (n+2)(n-1)n(n+1) b_n - (2n+1)$

両辺を $n(n-1)(n+1)(n+2)$ で割ると、

$b_{n+1} = b_n - \frac{2n+1}{n(n-1)(n+1)(n+2)}$

$a_2 = 2$ であり、$a_2 = (2-1)(2)(2+1)b_2 = 1 \cdot 2 \cdot 3 b_2 = 6 b_2$ だから、$6 b_2 = 2$ となり、$b_2 = \frac{1}{3}$ である。

$n \ge 2$ のとき、

$b_{n+1} - b_n = -\frac{2n+1}{n(n-1)(n+1)(n+2)} = -\frac{1}{n(n-1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}$

$\sum_{k=2}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = b_n - b_2 = \sum_{k=2}^{n-1} \left( -\frac{1}{k(k-1)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right)$

$b_n = b_2 + \sum_{k=2}^{n-1} \left( -\frac{1}{k-1} + \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} \right)$

$b_n = \frac{1}{3} + \left( -\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( -\frac{1}{n-2} + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$

$= \frac{1}{3} + \left( -1 + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} \right)$

$= \frac{1}{3} - 1 + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} = \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} - \frac{2}{3} = \frac{n + (n-1)}{(n-1)n} - \frac{2}{3} = \frac{2n-1}{n(n-1)} - \frac{2}{3}$

$= \frac{3(2n-1) - 2n(n-1)}{3n(n-1)} = \frac{6n-3 - 2n^2 + 2n}{3n(n-1)} = \frac{-2n^2 + 8n - 3}{3n(n-1)}$

(2) $a_n = (n-1)n(n+1) b_n = (n-1)n(n+1) \left( \frac{-2n^2 + 8n - 3}{3n(n-1)} \right) = \frac{(n+1)(-2n^2 + 8n - 3)}{3}$

$a_n = \frac{-2n^3 + 8n^2 - 3n - 2n^2 + 8n - 3}{3} = \frac{-2n^3 + 6n^2 + 5n - 3}{3}$

$a_1 = \frac{-2 + 6 + 5 - 3}{3} = \frac{6}{3} = 2$ となり、$a_1=1$ と矛盾する。

$b_{n+1} = b_n - \frac{2n+1}{(n-1)n(n+1)(n+2)}$

$\sum_{k=2}^{n-1} b_{k+1} - b_k = -\sum_{k=2}^{n-1} \frac{2k+1}{(k-1)k(k+1)(k+2)} = b_n - b_2$

$b_n = b_2 - \sum_{k=2}^{n-1} \frac{2k+1}{(k-1)k(k+1)(k+2)}$

部分分数分解

$\frac{2k+1}{(k-1)k(k+1)(k+2)} = \frac{A}{k-1} + \frac{B}{k} + \frac{C}{k+1} + \frac{D}{k+2}$

これを計算して確かめるのは困難。

別のやり方を考える

$(n-1)a_{n+1} = (n+2)a_n - (2n+1)$

$n=1$ のとき、$0 = 3a_1 - 3$ より、$a_1=1$

$n=2$ のとき、$a_3 = 4a_2 - 5 = 4(2) - 5 = 3$

$n=3$ のとき、$2a_4 = 5a_3 - 7 = 5(3) - 7 = 8$ より、$a_4 = 4$

数列 $\{a_n\}$ は、$a_n = n$ と推測できる。

これを数学的帰納法で示す。

$n=1, 2, 3, 4$ のとき、$a_n = n$ が成立。

$n=k$ のとき、$a_k=k$ が成立すると仮定する。

$(k-1)a_{k+1} = (k+2)a_k - (2k+1)$

$(k-1)a_{k+1} = (k+2)k - (2k+1) = k^2 + 2k - 2k - 1 = k^2 - 1$

$a_{k+1} = \frac{k^2 - 1}{k-1} = k+1$

よって、$n=k+1$ のときも、$a_n = n$ が成立する。

したがって、すべての $n$ で $a_n = n$ が成立する。

3. 最終的な答え

(1) $b_{n+1} = b_n - \frac{2n+1}{n(n-1)(n+1)(n+2)}$

(2) $a_n = n$