与えられた連立1次方程式 $\begin{cases} x + 3y - 4z = -4 \\ 4x + 12y - z = 14 \\ 7x + 21y - 9z = 10 \end{cases}$ について、 (1) 係数行列と拡大係数行列の階数を求める。 (2) 連立方程式の解を求める。

1. 問題の内容

与えられた連立1次方程式

$\begin{cases}

x + 3y - 4z = -4 \\

4x + 12y - z = 14 \\

7x + 21y - 9z = 10

\end{cases}$

について、

(1) 係数行列と拡大係数行列の階数を求める。

(2) 連立方程式の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) 係数行列と拡大係数行列を書き出し、行基本変形を行って階数を求める。

係数行列 $A$ は

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ 4 & 12 & -1 \\ 7 & 21 & -9 \end{pmatrix}$

拡大係数行列 $A'$ は

$A' = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 & -4 \\ 4 & 12 & -1 & 14 \\ 7 & 21 & -9 & 10 \end{pmatrix}$

行基本変形を行う。

まず、2行目を「2行目 - 4 * 1行目」、3行目を「3行目 - 7 * 1行目」とする。

$A' = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 & -4 \\ 0 & 0 & 15 & 30 \\ 0 & 0 & 19 & 38 \end{pmatrix}$

次に、3行目を「3行目 - (19/15) * 2行目」とする。

$A' = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 & -4 \\ 0 & 0 & 15 & 30 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

係数行列 $A$ の階数は2である。拡大係数行列 $A'$ の階数も2である。

(2) 連立方程式の解を求める。

行基本変形後の拡大係数行列から、連立方程式は

$\begin{cases}

x + 3y - 4z = -4 \\

15z = 30

\end{cases}$

となる。

$z = 2$

$x + 3y - 4(2) = -4$

$x + 3y - 8 = -4$

$x + 3y = 4$

$x = 4 - 3y$

3. 最終的な答え

(1) 係数行列の階数：2

拡大係数行列の階数：2

(2) 解：

$\begin{cases}

x = 4 - 3y \\

z = 2 \\

y は任意

\end{cases}$

ここで$y = t$とおくと、解は、

$\begin{cases}

x = 4 - 3t \\

y = t \\

z = 2

\end{cases}$　

($t$は任意)