$\sqrt{14 + \sqrt{96}} + \sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{14 + \sqrt{96}} + \sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{96}$ を簡単にします。

$\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4\sqrt{6}$

したがって、$\sqrt{14 + \sqrt{96}} = \sqrt{14 + 4\sqrt{6}}$ となります。

$\sqrt{14 + 4\sqrt{6}}$ を $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ の形に変形することを考えます。

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$

$a + b = 14$

$2\sqrt{ab} = 4\sqrt{6}$

$\sqrt{ab} = 2\sqrt{6}$

$ab = 4 \times 6 = 24$

$a + b = 14$ かつ $ab = 24$ を満たす $a$ と $b$ は $a=12$, $b=2$ となります。

したがって、$\sqrt{14 + 4\sqrt{6}} = \sqrt{12} + \sqrt{2} = 2\sqrt{3} + \sqrt{2}$ となります。

次に、$\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$ を $\sqrt{c} - \sqrt{d}$ の形に変形することを考えます。

$(\sqrt{c} - \sqrt{d})^2 = c + d - 2\sqrt{cd}$

$c + d = 5$

$2\sqrt{cd} = 2\sqrt{6}$

$\sqrt{cd} = \sqrt{6}$

$cd = 6$

$c + d = 5$ かつ $cd = 6$ を満たす $c$ と $d$ は $c=3$, $d=2$ となります。

したがって、$\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ となります。

$\sqrt{14 + \sqrt{96}} + \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = (2\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 3\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$3\sqrt{3}$