与えられた連立不等式が表す領域 $D$ において、$2x + y$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ と $y$ の値をそれぞれ求めます。連立不等式は、 $ \begin{cases} y \ge -x + 3 \\ x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 \le 0 \end{cases} $ です。

1. 問題の内容

与えられた連立不等式が表す領域 $D$ において、$2x + y$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ と $y$ の値をそれぞれ求めます。連立不等式は、

$ \begin{cases}

y \ge -x + 3 \\

x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 \le 0

\end{cases} $

です。

2. 解き方の手順

まず、円の方程式を変形します。

$x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0$

$(x^2 - 4x) + (y^2 - 2y) + 4 = 0$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) + 4 - 4 - 1 = 0$

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1$

これは、中心 $(2, 1)$ 、半径 $1$ の円を表します。

したがって、領域 $D$ は、

$ \begin{cases}

y \ge -x + 3 \\

(x - 2)^2 + (y - 1)^2 \le 1

\end{cases} $

を満たす領域です。

次に、$k = 2x + y$ とおくと、$y = -2x + k$ となります。これは傾き $-2$、y切片 $k$ の直線を表します。

$y = -2x + k$ を円 $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1$ に代入し、判別式が $0$ 以上になる条件を考えます。

$(x - 2)^2 + (-2x + k - 1)^2 = 1$

$x^2 - 4x + 4 + 4x^2 - 4(k - 1)x + (k - 1)^2 = 1$

$5x^2 - (4 + 4k - 4)x + 4 + (k - 1)^2 - 1 = 0$

$5x^2 - 4kx + 4 + k^2 - 2k = 0$

判別式 $D = (-4k)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (k^2 - 2k + 4) \ge 0$

$16k^2 - 20k^2 + 40k - 80 \ge 0$

$-4k^2 + 40k - 80 \ge 0$

$k^2 - 10k + 20 \le 0$

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 80}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{20}}{2} = 5 \pm \sqrt{5}$

したがって、$5 - \sqrt{5} \le k \le 5 + \sqrt{5}$

$2x + y$ が最小となるのは、$y = -x + 3$ と円が接するときです。

$y = -x + 3$ を $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1$ に代入すると、

$(x - 2)^2 + (-x + 3 - 1)^2 = 1$

$(x - 2)^2 + (-x + 2)^2 = 1$

$x^2 - 4x + 4 + x^2 - 4x + 4 = 1$

$2x^2 - 8x + 7 = 0$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 56}}{4} = \frac{8 \pm \sqrt{8}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = - (2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}) + 3 = 1 \mp \frac{\sqrt{2}}{2}$

最小値は、直線 $y = -2x + k$ が領域 $D$ と接する点で得られます。すなわち、$5 - \sqrt{5}$ であり、これは、$y = -x + 3$と円が接する点$x = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}, y = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を通るはずがないので、最小値は円と直線$y = -x + 3$の交点です。$2x + y = 2x + (-x + 3) = x + 3$. $x = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$のときに最小値を取ります。$2(2 - \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 - \sqrt{2} + 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

このとき$y = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$なので, $x = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}, y = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

$2x+y = 4-\sqrt{2} + 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

直線 $y = -2x + k$ が円の中心を通るとき、$k$ の値は最大になります。

$1 = -2(2) + k$

$k = 1 + 4 = 5$

円の中心 $(2, 1)$ を通る傾き $-2$ の直線は、$y = -2x + 5$ 。この直線が円と接するときの $k$ の値は $5 + \sqrt{5}$ であるので、このときに最大値をとります。

$x = 2 - \frac{\sqrt{5}}{5}$

$y = 1 + \frac{2\sqrt{5}}{5}$

最大値は、$5 + \sqrt{5}$ 。

最小値は、$5 - \sqrt{5}$ 。

最小値をとる時の $x = 2 + \frac{\sqrt{5}}{5}$ $y = 1 - \frac{2\sqrt{5}}{5}$。

最大値をとる時の $x = 2 - \frac{\sqrt{5}}{5}$ $y = 1 + \frac{2\sqrt{5}}{5}$。

3. 最終的な答え

$2x + y$ の最小値は $5 - \sqrt{5}$ であり、このとき $x = 2 + \frac{\sqrt{5}}{5}$, $y = 1 - \frac{2\sqrt{5}}{5}$ である。

また、$2x + y$ の最大値は $5 + \sqrt{5}$ であり、このとき $x = 2 - \frac{\sqrt{5}}{5}$, $y = 1 + \frac{2\sqrt{5}}{5}$ である。