与えられた行列の等式を満たす正方行列 $A$ を求める問題です。等式は次の通りです。 $\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列の等式を満たす正方行列 $A$ を求める問題です。等式は次の通りです。

$\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式を $PAQ = B$ とおきます。ここで、

$P = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $A = A$, $Q = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

行列 $P$ と $Q$ の逆行列をそれぞれ計算します。

$P$ の行列式は $4 \cdot 4 - 5 \cdot 3 = 16 - 15 = 1$ なので、$P^{-1}$ は存在し、

$P^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$

$Q$ の行列式は $0 \cdot (-2) - 1 \cdot 1 = -1$ なので、$Q^{-1}$ は存在し、

$Q^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$PAQ = B$ の両辺に左から $P^{-1}$ を、右から $Q^{-1}$ をかけると、

$P^{-1} (PAQ) Q^{-1} = P^{-1} B Q^{-1}$

$(P^{-1}P) A (QQ^{-1}) = P^{-1} B Q^{-1}$

$IAI = P^{-1} B Q^{-1}$

$A = P^{-1} B Q^{-1}$

したがって、求める行列 $A$ は

$A = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

まず、$\begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ を計算します。

$\begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cdot2 + (-5)\cdot1 & 4\cdot(-4) + (-5)\cdot0 \\ (-3)\cdot2 + 4\cdot1 & (-3)\cdot(-4) + 4\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8-5 & -16+0 \\ -6+4 & 12+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -16 \\ -2 & 12 \end{pmatrix}$

次に、$\begin{pmatrix} 3 & -16 \\ -2 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ を計算します。

$\begin{pmatrix} 3 & -16 \\ -2 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot2 + (-16)\cdot1 & 3\cdot1 + (-16)\cdot0 \\ (-2)\cdot2 + 12\cdot1 & (-2)\cdot1 + 12\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-16 & 3+0 \\ -4+12 & -2+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 & 3 \\ 8 & -2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A = \begin{pmatrix} -10 & 3 \\ 8 & -2 \end{pmatrix}$