行列 $A(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の等式を説明（証明）せよ。 (1) $A(\theta)^{-1} = A(-\theta)$ (2) $A(\alpha + \beta) = A(\alpha)A(\beta)$

1. 問題の内容

行列 $A(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の等式を説明（証明）せよ。

(1) $A(\theta)^{-1} = A(-\theta)$

(2) $A(\alpha + \beta) = A(\alpha)A(\beta)$

2. 解き方の手順

(1) $A(\theta)$ の逆行列 $A(\theta)^{-1}$ を計算し、$A(-\theta)$ と比較する。

$A(\theta)$ の行列式は $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ であるから、$A(\theta)$ は正則であり、逆行列が存在する。

$A(\theta)^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

一方、

$A(-\theta) = \begin{pmatrix} \cos(-\theta) & -\sin(-\theta) \\ \sin(-\theta) & \cos(-\theta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

したがって、$A(\theta)^{-1} = A(-\theta)$ が成り立つ。

(2) $A(\alpha)$ と $A(\beta)$ の積を計算し、$A(\alpha + \beta)$ と比較する。

$A(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$

$A(\beta) = \begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix}$

$A(\alpha)A(\beta) = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta & -\cos\alpha\sin\beta - \sin\alpha\cos\beta \\ \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta & -\sin\alpha\sin\beta + \cos\alpha\cos\beta \end{pmatrix}$

三角関数の加法定理より、

$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

したがって、

$A(\alpha)A(\beta) = \begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{pmatrix} = A(\alpha+\beta)$

3. 最終的な答え

(1) $A(\theta)^{-1} = A(-\theta)$ である。

(2) $A(\alpha + \beta) = A(\alpha)A(\beta)$ である。