2次関数 $y = a(x-b)(x-c)$ のグラフ $G$ に関する問題です。 (1) (i) $G$ がx軸と接するための必要十分条件、及び $G$ がx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件を $b$ と $c$ の関係で表します。 (ii) $G$ がy軸の正の部分と交わるための必要十分条件を求めます。 (2) $a=2$, $bc=1$, $0<b<1$ のとき、 $G$ とy軸の交点をA、$G$ とx軸の交点をB, Cとして、三角形ABCの面積を $b$ を用いて表します。

1. 問題の内容

2次関数 $y = a(x-b)(x-c)$ のグラフ $G$ に関する問題です。

(1)

(i) $G$ がx軸と接するための必要十分条件、及び $G$ がx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件を $b$ と $c$ の関係で表します。

(ii) $G$ がy軸の正の部分と交わるための必要十分条件を求めます。

(2) $a=2$, $bc=1$, $0<b<1$ のとき、 $G$ とy軸の交点をA、$G$ とx軸の交点をB, Cとして、三角形ABCの面積を $b$ を用いて表します。

2. 解き方の手順

(1)

(i) $y = a(x-b)(x-c)$ がx軸と接するのは、$b=c$ のときです。なぜなら、$b=c$のとき$y = a(x-b)^2$となり、重解を持ちます。したがって、（ア）は2です。

また、$G$ がx軸と異なる2点で交わるのは、$b \ne c$ のときです。これは、$b \neq c$ であることと判別式 $D = a^2(b-c)^2 > 0$が同値であることから分かります。$b<c$のときも$b>c$の時も条件を満たすので、$b\neq c$と言えます。したがって、（イ）は4です。

(ii) $G$ がy軸の正の部分と交わるための必要十分条件は、$x=0$ のときの $y$ 座標が正であることです。

$y = a(0-b)(0-c) = abc > 0$。

したがって、（ウ）は5です。

(2)

$A$ のy座標は、$x=0$ のとき $y=a(0-b)(0-c) = abc$です。

$a=2$, $bc=1$ より、$y = 2\cdot 1 = 2$。

よって、$A(0, 2)$ です。

$B(b, 0)$, $C(c, 0)$ であり、$bc=1$ より $c = \frac{1}{b}$。

したがって、$B(b, 0)$, $C(\frac{1}{b}, 0)$。

三角形ABCの面積は、底辺を $BC = |\frac{1}{b} - b| = \frac{1}{b} - b$ （$0<b<1$より $\frac{1}{b}>1>b$なので正の値）とすると、高さは $A$ のy座標である2なので、

$\frac{1}{2} \times (\frac{1}{b} - b) \times 2 = \frac{1}{b} - b = \frac{1-b^2}{b}$。

3. 最終的な答え

(1)

(i) (ア) 2、(イ) 4

(ii) (ウ) 7

(2) $\frac{1-b^2}{b}$