問題は黄チャート数学I PRACTICE8のいくつかの式の展開です。ここでは、(1), (3), (5), (1)' を解きます。 (1) $x(x-2)(x-3)(x+1)$ (3) $(x-y)^2(x+y)^2(x^2+y^2)^2$ (5) $(x-2)(x+1)(x^2+2x+4)(x^2-x+1)$ (1)' $(x^2-2x)(x^2-2x-3)$

承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は黄チャート数学I PRACTICE8のいくつかの式の展開です。ここでは、(1), (3), (5), (1)' を解きます。

(1) $x(x-2)(x-3)(x+1)$

(3) $(x-y)^2(x+y)^2(x^2+y^2)^2$

(5) $(x-2)(x+1)(x^2+2x+4)(x^2-x+1)$

(1)' $(x^2-2x)(x^2-2x-3)$

2. 解き方の手順

(1) $x(x-2)(x-3)(x+1)$

まず、$x(x-2)(x-3)(x+1) = x(x+1)(x-2)(x-3) = (x^2+x)(x^2-5x+6)$ と変形します。

$(x^2+x)(x^2-5x+6) = x^4 - 5x^3 + 6x^2 + x^3 - 5x^2 + 6x = x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x$

(3) $(x-y)^2(x+y)^2(x^2+y^2)^2$

まず、$(x-y)^2(x+y)^2 = ((x-y)(x+y))^2 = (x^2-y^2)^2$ と変形します。

したがって、与式は$(x^2-y^2)^2(x^2+y^2)^2 = ((x^2-y^2)(x^2+y^2))^2 = (x^4 - y^4)^2$ となります。

$(x^4-y^4)^2 = x^8 - 2x^4y^4 + y^8$

(5) $(x-2)(x+1)(x^2+2x+4)(x^2-x+1)$

まず、$(x-2)(x^2+2x+4) = x^3 - 8$ および $(x+1)(x^2-x+1) = x^3 + 1$ となります。

したがって、与式は $(x^3 - 8)(x^3 + 1) = x^6 + x^3 - 8x^3 - 8 = x^6 - 7x^3 - 8$

(1)' $(x^2-2x)(x^2-2x-3)$

$x^2-2x = M$ と置くと、

$M(M-3) = M^2 - 3M = (x^2-2x)^2 - 3(x^2-2x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 3x^2 + 6x = x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x$

3. 最終的な答え

(1) $x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x$

(3) $x^8 - 2x^4y^4 + y^8$

(5) $x^6 - 7x^3 - 8$

(1)' $x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x$