与えられた2つの等式を証明する問題です。 (1) $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$ (2) $(a^2 - b^2)(c^2 - d^2) = (ac + bd)^2 - (ad + bc)^2$

1. 問題の内容

与えられた2つの等式を証明する問題です。

(1) $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

(2) $(a^2 - b^2)(c^2 - d^2) = (ac + bd)^2 - (ad + bc)^2$

2. 解き方の手順

(1) 等式の右辺を展開し、左辺と一致することを示します。

(2) 等式の両辺を展開し、一致することを示します。

(1)

右辺を展開します。

$(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1) = (x^2 + 1 - x)(x^2 + 1 + x)$

これは $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ の形なので、

$((x^2 + 1) - x)((x^2 + 1) + x) = (x^2 + 1)^2 - x^2$

$= x^4 + 2x^2 + 1 - x^2$

$= x^4 + x^2 + 1$

これは左辺と一致します。

(2)

左辺を展開します。

$(a^2 - b^2)(c^2 - d^2) = a^2c^2 - a^2d^2 - b^2c^2 + b^2d^2$

右辺を展開します。

$(ac + bd)^2 - (ad + bc)^2 = (a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2) - (a^2d^2 + 2adbc + b^2c^2)$

$= a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2 - a^2d^2 - 2adbc - b^2c^2$

$= a^2c^2 - a^2d^2 - b^2c^2 + b^2d^2$

これは左辺と一致します。

3. 最終的な答え

(1) $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$ は証明されました。

(2) $(a^2 - b^2)(c^2 - d^2) = (ac + bd)^2 - (ad + bc)^2$ は証明されました。