$\log_{10} 2 = a$、$\log_{10} 3 = b$ のとき、$\log_2 2.4$ を $a$ と $b$ で表しなさい。

1. 問題の内容

$\log_{10} 2 = a$、$\log_{10} 3 = b$ のとき、$\log_2 2.4$ を $a$ と $b$ で表しなさい。

2. 解き方の手順

まず、$\log_2 2.4$ を底が10の対数で表します。底の変換公式を用いると、

$\log_2 2.4 = \frac{\log_{10} 2.4}{\log_{10} 2}$

となります。

次に、$\log_{10} 2.4$ を変形します。

$2.4 = \frac{24}{10} = \frac{2^3 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \frac{2^2 \cdot 3}{5}$

なので、

$\log_{10} 2.4 = \log_{10} \frac{2^2 \cdot 3}{5} = \log_{10} (2^2 \cdot 3) - \log_{10} 5$

$= \log_{10} 2^2 + \log_{10} 3 - \log_{10} 5 = 2 \log_{10} 2 + \log_{10} 3 - \log_{10} 5$

と表せます。

ここで、$\log_{10} 5$ を $a$ で表します。

$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2 = 1 - a$

となるので、

$\log_{10} 2.4 = 2 \log_{10} 2 + \log_{10} 3 - (1 - \log_{10} 2) = 2a + b - (1-a) = 3a + b - 1$

と表せます。

よって、$\log_2 2.4$ は

$\log_2 2.4 = \frac{\log_{10} 2.4}{\log_{10} 2} = \frac{3a + b - 1}{a}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{3a+b-1}{a}$