以下の4つの2次方程式の解を求める問題です。 (1) $8x^2 - 14x + 3 = 0$ (2) $2x - x^2 = 6(2x - 1)$ (3) $\sqrt{2}x^2 - 5x + 2\sqrt{2} = 0$ (4) $3(x+1)^2 + 5(x+1) - 2 = 0$

はい、承知いたしました。画像にある4つの2次方程式を解きます。

1. 問題の内容

以下の4つの2次方程式の解を求める問題です。

(1) $8x^2 - 14x + 3 = 0$

(2) $2x - x^2 = 6(2x - 1)$

(3) $\sqrt{2}x^2 - 5x + 2\sqrt{2} = 0$

(4) $3(x+1)^2 + 5(x+1) - 2 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $8x^2 - 14x + 3 = 0$

因数分解を試みます。

$8x^2 - 14x + 3 = (4x - 1)(2x - 3) = 0$

したがって、$4x - 1 = 0$ または $2x - 3 = 0$

$x = \frac{1}{4}$ または $x = \frac{3}{2}$

(2) $2x - x^2 = 6(2x - 1)$

式を整理します。

$2x - x^2 = 12x - 6$

$x^2 + 10x - 6 = 0$

解の公式を使用します。$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)}$

$x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 24}}{2}$

$x = \frac{-10 \pm \sqrt{124}}{2}$

$x = \frac{-10 \pm 2\sqrt{31}}{2}$

$x = -5 \pm \sqrt{31}$

(3) $\sqrt{2}x^2 - 5x + 2\sqrt{2} = 0$

解の公式を使用します。$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(\sqrt{2})(2\sqrt{2})}}{2\sqrt{2}}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2\sqrt{2}}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2\sqrt{2}}$

$x = \frac{5 \pm 3}{2\sqrt{2}}$

$x = \frac{5 + 3}{2\sqrt{2}} = \frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

$x = \frac{5 - 3}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(4) $3(x+1)^2 + 5(x+1) - 2 = 0$

$y = x + 1$ と置換します。

$3y^2 + 5y - 2 = 0$

$(3y - 1)(y + 2) = 0$

$3y - 1 = 0$ または $y + 2 = 0$

$y = \frac{1}{3}$ または $y = -2$

$x + 1 = \frac{1}{3}$ または $x + 1 = -2$

$x = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$

$x = -2 - 1 = -3$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{4}, \frac{3}{2}$

(2) $x = -5 \pm \sqrt{31}$

(3) $x = 2\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}$

(4) $x = -\frac{2}{3}, -3$