$n$次元数ベクトル空間$\mathbb{R}^n$内の$n$個のベクトル$\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_n$に対して、次の6つの命題が互いに同値であることを証明する問題を、$n=2$の場合について証明せよ。 1. 列$(\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_n)$は$\mathbb{R}^n$の基底である。

1. 問題の内容

$n$次元数ベクトル空間$\mathbb{R}^n$内の$n$個のベクトル$\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_n$に対して、次の6つの命題が互いに同値であることを証明する問題を、$n=2$の場合について証明せよ。

1. 列$(\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_n)$は$\mathbb{R}^n$の基底である。

2. $\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_n$は一次独立である。

3. $\text{span}\{\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_n\} = \mathbb{R}^n$である。

4. $A = [\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_n]$は正則行列である。すなわち、$AB = BA = I$を満たす行列$B$が存在する。

5. $\text{rank}[\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_n] = n$である。

6. $\det[\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_n] \neq 0$である。

2. 解き方の手順

$n=2$の場合について、上記の6つの命題が互いに同値であることを示す。すなわち、任意の2つの命題$p$と$q$について、$p \Rightarrow q$または$q \Rightarrow p$を示せば良い。今回は、$1 \Rightarrow 2 \Rightarrow 3 \Rightarrow 4 \Rightarrow 5 \Rightarrow 6 \Rightarrow 1$を示す。

(1) $1 \Rightarrow 2$:

$(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2)$が$\mathbb{R}^2$の基底であると仮定する。

このとき、$\mathbb{R}^2$の任意のベクトルは$\mathbf{a}_1$と$\mathbf{a}_2$の線形結合で一意的に表せる。

$c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2 = \mathbf{0}$と仮定すると、$c_1 = c_2 = 0$となることを示せばよい。

もし$c_1$または$c_2$が0でない場合、$\mathbf{0}$は$\mathbf{a}_1$と$\mathbf{a}_2$の線形結合で一意的に表せないため、矛盾する。

したがって、$c_1 = c_2 = 0$となり、$\mathbf{a}_1$と$\mathbf{a}_2$は一次独立である。

(2) $2 \Rightarrow 3$:

$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2$が一次独立であると仮定する。

$\text{span}\{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2\} = \mathbb{R}^2$を示す。

$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2$は一次独立なので、$\mathbf{a}_1 \neq \mathbf{0}$かつ$\mathbf{a}_2$は$\mathbf{a}_1$のスカラー倍ではない。

$\mathbb{R}^2$の任意のベクトル$\mathbf{v}$を考える。

$\mathbf{a}_1$と$\mathbf{a}_2$の線形結合で$\mathbf{v}$を表せることを示す。

すなわち、$c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2 = \mathbf{v}$を満たす$c_1, c_2$が存在することを示す。

$\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{bmatrix}$, $\mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{bmatrix}$, $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}$とすると、

$a_{11} c_1 + a_{12} c_2 = v_1$

$a_{21} c_1 + a_{22} c_2 = v_2$

という連立一次方程式を得る。この方程式の解が存在するためには、行列$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$の行列式が0でないことが必要十分条件である。

$a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \neq 0$を示す。

もし$a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} = 0$とすると、$a_{11} a_{22} = a_{12} a_{21}$となる。

このとき、$\mathbf{a}_1$と$\mathbf{a}_2$は一次従属となり、$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2$が一次独立であるという仮定に矛盾する。

したがって、$a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \neq 0$であり、$\text{span}\{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2\} = \mathbb{R}^2$である。

(3) $3 \Rightarrow 4$:

$\text{span}\{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2\} = \mathbb{R}^2$であると仮定する。

このとき、任意の$\mathbf{v} \in \mathbb{R}^2$に対して、$c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2 = \mathbf{v}$を満たす$c_1, c_2$が存在する。

行列$A = [\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2]$を考えると、$A \mathbf{c} = \mathbf{v}$となる。

ここで、$\mathbf{c} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix}$である。

したがって、$A$は$\mathbb{R}^2$から$\mathbb{R}^2$への全射である。

$A$は正方行列であるため、全射であることは正則行列であることと同値である。

したがって、$A$は正則行列である。

(4) $4 \Rightarrow 5$:

$A$が正則行列であると仮定する。

正則行列のランクは$n$であるため、$\text{rank}(A) = 2 = n$である。

(5) $5 \Rightarrow 6$:

$\text{rank}(A) = 2$であると仮定する。

行列$A$のランクが2であるとき、$\det(A) \neq 0$である。

(6) $6 \Rightarrow 1$:

$\det(A) \neq 0$であると仮定する。

このとき、$A = [\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2]$は正則行列であり、$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2$は一次独立である。

$\mathbb{R}^2$の基底は2つの一次独立なベクトルからなるため、$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2$は$\mathbb{R}^2$の基底である。

3. 最終的な答え

$n=2$の場合、上記の6つの命題は互いに同値である。