数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 10$ および漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 2^{n+2}$ で定められている。 (1) $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ とおくとき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 10$ および漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 2^{n+2}$ で定められている。

(1) $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ とおくとき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ より、$a_n = 2^n b_n$ である。これを漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 2^{n+2}$ に代入する。

$a_{n+1} = 2^{n+1}b_{n+1}$ であり、$a_n = 2^n b_n$ であるから、

$2^{n+1}b_{n+1} = 2(2^n b_n) + 2^{n+2}$

$2^{n+1}b_{n+1} = 2^{n+1}b_n + 2^{n+2}$

両辺を $2^{n+1}$ で割ると、

$b_{n+1} = b_n + 2$

これは、数列 $\{b_n\}$ が初項 $b_1$、公差 2 の等差数列であることを意味する。

$b_1 = \frac{a_1}{2^1} = \frac{10}{2} = 5$

したがって、$b_n = 5 + (n-1)2 = 2n + 3$

(2) (1) より、$b_n = 2n + 3$ である。また、$b_n = \frac{a_n}{2^n}$ であるから、

$a_n = 2^n b_n = 2^n (2n + 3) = (2n + 3)2^n$

3. 最終的な答え

(1) $b_n = 2n + 3$

(2) $a_n = (2n + 3)2^n$