数列 $\{a_n\}$ が以下の条件で定められているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。 $a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $a_{n+2} - a_{n+1} - 12a_n = 0$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が以下の条件で定められているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

$a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $a_{n+2} - a_{n+1} - 12a_n = 0$

2. 解き方の手順

漸化式 $a_{n+2} - a_{n+1} - 12a_n = 0$ を解くために、特性方程式を立てます。特性方程式は

$x^2 - x - 12 = 0$

となります。この方程式を解くと、

$(x - 4)(x + 3) = 0$

より、$x = 4, -3$ となります。

したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は、定数 $A, B$ を用いて

$a_n = A \cdot 4^n + B \cdot (-3)^n$

と表されます。

初期条件 $a_1 = 1$, $a_2 = 2$ を用いて、定数 $A, B$ を決定します。

$a_1 = 4A - 3B = 1$

$a_2 = 16A + 9B = 2$

この連立方程式を解きます。

$4A - 3B = 1$ を3倍すると $12A - 9B = 3$ となります。

$16A + 9B = 2$ と足し合わせると、$28A = 5$ となり、$A = \frac{5}{28}$ となります。

$4A - 3B = 1$ に $A = \frac{5}{28}$ を代入すると、

$4 \cdot \frac{5}{28} - 3B = 1$

$\frac{5}{7} - 3B = 1$

$-3B = 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$

$B = -\frac{2}{21}$

となります。

したがって、一般項は

$a_n = \frac{5}{28} \cdot 4^n - \frac{2}{21} \cdot (-3)^n$

となります。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{5}{28} \cdot 4^n - \frac{2}{21} \cdot (-3)^n$