問題は2つあります。 (1) 不等式 $|x - 1| < 2$ の解が $x^2 - 2kx - 1 > 0$ の解のすべてであるとき、定数 $k$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) 2次方程式 $x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$ の2つの解がともに0以上3以下であるとき、$a$ のとりうる値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 不等式 $|x - 1| < 2$ の解が $x^2 - 2kx - 1 > 0$ の解のすべてであるとき、定数 $k$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) 2次方程式 $x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$ の2つの解がともに0以上3以下であるとき、$a$ のとりうる値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$|x - 1| < 2$ を解きます。

$-2 < x - 1 < 2$

$-1 < x < 3$

次に、$x^2 - 2kx - 1 > 0$ の解が $-1 < x < 3$ を含むことを考えます。

$f(x) = x^2 - 2kx - 1$ とすると、$f(-1) \le 0$ かつ $f(3) \le 0$ であれば良い。

$f(-1) = (-1)^2 - 2k(-1) - 1 = 1 + 2k - 1 = 2k \le 0$

$f(3) = (3)^2 - 2k(3) - 1 = 9 - 6k - 1 = 8 - 6k \le 0$

$2k \le 0$ より $k \le 0$

$8 - 6k \le 0$ より $6k \ge 8$、つまり $k \ge \frac{4}{3}$

$k \le 0$と$k \ge \frac{4}{3}$を同時に満たす$k$は存在しないので、問題文の解釈を間違っている可能性があります。

$x^2 - 2kx - 1 > 0$ の解が $|x-1| < 2$ に含まれる条件を考えます。$x^2-2kx-1=0$ の解を$\alpha, \beta$とおくと、$\alpha < \beta$として、$x < \alpha, \beta < x$が$|x-1|<2$つまり$-1<x<3$に含まれる条件は、$\alpha \geq -1$かつ$\beta \leq 3$となります。これは先ほど計算した$f(-1) \leq 0, f(3) \leq 0$と同じ条件です。

(2)

$x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$ を解きます。

$(x - a)^2 - 1 = 0$

$(x - a)^2 = 1$

$x - a = \pm 1$

$x = a \pm 1$

2つの解は $a - 1$ と $a + 1$ です。

$0 \le a - 1$ かつ $a + 1 \le 3$

$a \ge 1$ かつ $a \le 2$

したがって、$1 \le a \le 2$

3. 最終的な答え

(1) 解なし

(2) $1 \le a \le 2$

ス = 1

セ = 2