$P = (p_1, p_2, p_3)$ は正則行列である。 $A = (p_1, p_2, p_3, -p_1 + p_2 - 3p_3)$ である。 $b = 3p_1 + 2p_2 + 3p_3$ である。 このとき、連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、与えられたベクトルが正しいか検証する。

1. 問題の内容

$P = (p_1, p_2, p_3)$ は正則行列である。

$A = (p_1, p_2, p_3, -p_1 + p_2 - 3p_3)$ である。

$b = 3p_1 + 2p_2 + 3p_3$ である。

このとき、連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、与えられたベクトルが正しいか検証する。

2. 解き方の手順

$A$ の列ベクトルを $a_1 = p_1, a_2 = p_2, a_3 = p_3, a_4 = -p_1 + p_2 - 3p_3$ とおく。

$x = (x_1, x_2, x_3, x_4)^T$ とすると、$Ax = b$ は

$x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + x_4 (-p_1 + p_2 - 3p_3) = 3p_1 + 2p_2 + 3p_3$ となる。

これを整理すると、

$(x_1 - x_4) p_1 + (x_2 + x_4) p_2 + (x_3 - 3x_4) p_3 = 3p_1 + 2p_2 + 3p_3$ となる。

$p_1, p_2, p_3$ は一次独立なので、以下の連立方程式が得られる。

$x_1 - x_4 = 3$

$x_2 + x_4 = 2$

$x_3 - 3x_4 = 3$

これを解くと、

$x_1 = x_4 + 3$

$x_2 = -x_4 + 2$

$x_3 = 3x_4 + 3$

$x_4 = x_4$

よって、$x = (x_4 + 3, -x_4 + 2, 3x_4 + 3, x_4)^T$ となる。

この解をベクトルで表すと、

$x = (3, 2, 3, 0)^T + x_4 (1, -1, 3, 1)^T$ となる。

与えられたパラメータ表示は、

$x = (4, 1, 6, 1)^T + p (2, -2, 6, 2)^T$ である。

$x = (4, 1, 6, 1)^T + 2p (1, -1, 3, 1)^T$ となる。

これは、$x = (4, 1, 6, 1)^T + q (1, -1, 3, 1)^T$, where $q=2p$ という形である。

ここで、$(4, 1, 6, 1)^T$ が $Ax = b$ の特殊解であるかを確認する。

$4p_1 + p_2 + 6p_3 + 1(-p_1 + p_2 - 3p_3) = 3p_1 + 2p_2 + 3p_3$ となり、$Ax = b$ を満たす。

したがって、与えられたパラメータ表示は正しい。

3. 最終的な答え

(4, 1, 6, 1)